Повна поверхня правильної чотирикутної піраміди дорівнює 108 см. Двогранний кут при основі дорівнює 60%. Знайдіть об'єм пірамід
Ответы
Ответ:
Для знаходження об'єму піраміди скористаємось формулою:
V = (1/3) * S * h,
де V - об'єм піраміди, S - площа основи піраміди, h - висота піраміди.
Спочатку потрібно знайти площу основи. Якщо p - периметр основи, а a - довжина сторони основи, то площа піраміди обчислюється за формулою:
S = (p * a) / 2.
Для знаходження периметру основи використаємо формулу:
p = 4 * a,
де a - довжина сторони основи.
Також, знайдемо висоту піраміди за допомогою трикутника, що є пірамідою. Відомо, що двогранний кут при основі дорівнює 60% = 60/100 = 0.6*360° = 216°. Це дає нам кут між висотою та стороною піраміди. Синус кута дорівнює відношенню висоти до сторони піраміди:
sin(216°) = h / a,
відсюди:
h = a * sin(216°).
Тепер знаходимо площу основи:
p = 4 * a,
S = (p * a) / 2 = (4a * a) / 2 = 2a^2.
Повна поверхня піраміди може бути знайдена через площу основи та бічну площу, яка складається з чотирьох трикутників. Оскільки у нас правильна піраміда, то всі трикутники рівнобедрені, тобто:
бічна площа = 4 * (1/2 * a * l),
де l - бічна сторона піраміди,
l = 2 * a * sin(60°/2),
l = 2 * a * sin(30°).
Оскільки sin(30°) = 1/2, то:
l = a.
Бічна площа = 4 * (1/2 * a * a) = 2a^2.
Повна поверхня:
108= S + 2a^2
Таким чином, сума площі основи і бічної площі дорівнює 108 см^2.
Тепер знайдемо висоту піраміди за допомогою трикутника. Відомо, що двогранний кут при основі дорівнює 60% = 60/100 = 0.6*360° = 216°. Це дає нам кут між висотою та стороною піраміди. Синус кута дорівнює відношенню висоти до сторони піраміди:
sin(216°) = h / a,
відсюди:
h = a * sin(216°).
Тепер врахуємо що, a = 108/(2 + sqrt3),
h = (108/(2 + sqrt3)) * sin(216°).
Таким чином, отримали значення висоти.
Тепер можемо підставити значення S та h у формулу для об'єму піраміди:
V = (1/3) * S * h.
Пошаговое объяснение: