Question

Пусть a и b - различные числа. Известно, что остаток от деления многочлена P(x) на многочлен (x-a) равен некоторому числу C1, остаток от деления многочлена P(x) на многочлен (x-b) равен некоторому числу C2, а остаток от деления многочлена P(x) на многочлен (x-a)(x-b) равен некоторому числу C3. Верно ли, что C1=C2=C3? Ответ обоснуйте.

Answer 1

Да, верно, что \(C1 = C2 = C3\). Это следует из китайской теоремы об остатках для многочленов. Суть заключается в том, что если \(f(x)\) - многочлен и \(g_1(x), g_2(x), \ldots, g_k(x)\) - попарно взаимно простые многочлены, то для любых чисел \(a_1, a_2, \ldots, a_k\) существует единственное решение системы уравнений по модулю соответствующих многочленов.

В данном случае \(g_1(x) = (x-a)\), \(g_2(x) = (x-b)\), и \(g_3(x) = (x-a)(x-b)\) являются попарно взаимно простыми многочленами. Следовательно, по китайской теореме об остатках, остатки от деления многочлена \(P(x)\) на каждый из этих многочленов равны соответственно \(C1, C2\) и \(C3\).

Answer 2

Відповідь:

\(C1 = C2 = C3\). Это следует из китайской теоремы об остатках для многочленов. Суть заключается в том, что если \(f(x)\) - многочлен и \(g_1(x), g_2(x), \ldots, g_k(x)\) - попарно взаимно простые многочлены, то для любых чисел \(a_1, a_2, \ldots, a_k\) существует единственное решение системы уравнений по модулю соответствующих многочленов.

Пояснение:

В данном случае \(g_1(x) = (x-a)\), \(g_2(x) = (x-b)\), и \(g_3(x) = (x-a)(x-b)\) являются попарно взаимно простыми многочленами. Следовательно, по китайской теореме об остатках, остатки от деления многочлена \(P(x)\) на каждый из этих многочленов равны соответственно \(C1, C2\) и \(C3\).