Question

Найдите корни уравнения: 1) cos5x - sin5x - sin7x + cos7x = 0
2) sinxsin3x + sin4xsin8x = 0.​

Answer 1

Ответ:

sinx = 0 или sin3x = 0 или sin4x = 0 или sin8x = 0 или cos8x = 0 или cos10x = 1.

Объяснение:

1) Давайте рассмотрим данное уравнение с другой стороны:

cos5x - sin5x - sin7x cos7x = 0

cos5x - sin5x = sin7x cos7x

Мы можем использовать формулу произведения синусов и косинусов для правой стороны:

sin(7x + 5x) = sin12x

Теперь мы можем записать наше уравнение в виде:

cos5x - sin5x = sin12x

cos5x = sin5x + sin12x

Теперь мы можем использовать формулу произведения синусов для правой стороны:

cos5x = 2sin(\frac{5x + 12x}{2})cos(\frac{5x - 12x}{2})

cos5x = 2sin8.5x * cos(-3.5x)

Мы замечаем, что cos(-3.5x) = cos(3.5x), поэтому:

cos5x = 2sin8.5x * cos3.5x

cos3.5x = \frac{cos5x}{2sin8.5x}

Теперь мы можем использовать формулу произведения синусов для левой стороны:

sin(5x - 3.5x) = sin1.5x

sin1.5x = 2sin(\frac{1.5x}{2})cos(\frac{1.5x}{2})

sin1.5x = 2sin0.75x * cos0.75x

Таким образом, мы получили два уравнения:

cos3.5x = \frac{cos5x}{2sin8.5x}

sin1.5x = 2sin0.75x * cos0.75x

Мы можем решить эти уравнения численно или графически.

2) Аналогично первому уравнению, мы можем переписать данное уравнение в виде:

sinxsin3x * sin4xsin8x = 0

Теперь мы можем использовать формулу произведения синусов для обеих частей уравнения:

sinxsin3x * sin4xsin8x = (cos2x - cos4x cos10x) * (\frac{1}{2}(cos4x - cos12x))

sinxsin3x * sin4xsin8x = \frac{1}{2}(cos2x cos4x - cos2x cos12x - cos4x cos10x + cos10x cos12x)

sinxsin3x * sin4xsin8x = \frac{1}{4}(2cos2x cos4x - 2cos2x cos12x - 2cos4x cos10x + 2cos10x cos12x)

sinxsin3x * sin4xsin8x = \frac{1}{4}(cos6x - cos10x - cos6x cos8x + cos8x cos10x)

sinxsin3x * sin4xsin8x = \frac{1}{4}(cos8x - cos10x cos8x)

sinxsin3x * sin4xsin8x = \frac{1}{4}cos8x(1 - cos10x)

Отсюда следует, что sinx = 0 или sin3x = 0 или sin4x = 0 или sin8x = 0 или cos8x = 0 или cos10x = 1.

Таким образом, корни уравнения:

x = k * \pi, где k - целое число,

x = \frac{k * \pi}{3}, где k - целое число,

x = \frac{k * \pi}{4}, где k - целое число,

x = \frac{k * \pi}{8}, где k - целое число,

x = \frac{(2k + 1) * \pi}{16}, где k - целое число.