Дано: ВС=АD, ∟СВD= ∟ВDА Доказать: АВD= DВС. Найти ∟ВDС, если ∟АВD=66 градусам
Ответы
Відповідь:
Для доказательства \( \angle AVD = \angle DVC \) и нахождения \( \angle DVC \) нужно использовать информацию о равенстве отрезков и равенстве углов.
1. \( VC = AD \) (по условию, \( VC = VS \), а также \( AD = VS \)).
2. \( \angle BVD = \angle VDA \) (по условию, \( \angle CVD = \angle BDA \), а вертикальные углы равны).
Теперь рассмотрим треугольники \( AVD \) и \( VCD \):
1. \( \angle AVD = \angle CVD \) (по условию).
2. \( \angle VAD = \angle VCD \) (по условию и равенству вертикальных углов).
3. \( AD = VC \) (по условию).
По двум углам и стороне эти треугольники подобны.
Таким образом, мы можем использовать соотношение сторон треугольников:
\[ \frac{AV}{VD} = \frac{VC}{CD} \]
Так как \( VC = AD \) и \( CD = AD \) (по условию), мы получаем:
\[ \frac{AV}{VD} = \frac{AD}{AD} \]
Сокращаем \( AD \) в числителе и знаменателе:
\[ \frac{AV}{VD} = 1 \]
Отсюда следует, что \( AV = VD \).
Таким образом, у нас есть две равные стороны \( AV \) и \( VD \) в треугольнике \( AVD \). Это означает, что угол \( \angle AVD \) равен углу \( \angle DVA \) (по признаку равенства треугольников).
Теперь мы имеем:
\[ \angle AVD = \angle DVA \]
Но \( \angle AVD + \angle DVA + \angle BVD = 180^\circ \) (сумма углов треугольника).
Подставим значение \( \angle AVD \):
\[ \angle DVA + \angle DVA + \angle BVD = 180^\circ \]
\[ 2 \cdot \angle DVA + \angle BVD = 180^\circ \]
\[ 2 \cdot \angle DVA = 180^\circ - \angle BVD \]
\[ \angle DVA = \frac{180^\circ - \angle BVD}{2} \]
Теперь подставим значение \( \angle BVD = 66^\circ \):
\[ \angle DVA = \frac{180^\circ - 66^\circ}{2} \]
\[ \angle DVA = \frac{114^\circ}{2} \]
\[ \angle DVA = 57^\circ \]
Таким образом, мы нашли значение угла \( \angle DVA \).
Теперь мы можем сформулировать ответы:
1. \( \angle AVD = \angle DVC \).
2. \( \angle DVA = 57^\circ \).