Question

Точка м - середина стороны ВС равностороннего треугольни-ка АВс, точка К делит сторону АВ в отношении АК : КВ = 1: 2. В каком отношении делит сторону AC се-рединный перпендикуляр к отрез-ку МК? (» рис.)

Answer 1

Ответ:

В отношении 23 : 19 делит сторону AC серединный перпендикуляр к отрезку МК

Объяснение:

Точка M - середина стороны ВС равностороннего треугольника АВC, точка К делит сторону АВ в отношении АК : КВ = 1 : 2. В каком отношении делит сторону AC серединный перпендикуляр к отрезку МК?

Дано: ΔАВС - равносторонний;

АК : КВ = 1 : 2; СМ = МВ.

ОЕ - срединный перпендикуляр к КМ.

Найти: АЕ : ЕС.

Решение:

АК : КВ = 1 : 2

Пусть АК = а; тогда КВ = 2а.

ΔАВС - равносторонний.

⇒ АВ = ВС = АС = 3а.

СМ = МВ = 3а/2.

Пусть ЕС = х, тогда АЕ = 3а - х

∠А = ∠В = ∠С = 60°.

Соединим ЕК и ЕМ.

• Любая точка на серединной перпендикуляре равноудалена от концов отрезка.

⇒ ЕК = ЕМ.

Рассмотрим ΔАКЕ.

• Теорема косинусов:
• Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

⇒ КЕ² = АК² + АЕ² - 2 · АК · АЕ · cos 60°

$\displaystyle KE^2=a^2+(3a-x)^2-2a(3a-x)\cdot \frac{1}{2} \\\\KE^2=a^2+9a^2-6ax+x^2-3a^2+ax\\\\\bf KE^2=7a^2-5ax+x^2$

Рассмотрим ΔЕМС.

По теореме косинусов:

ЕМ² = ЕС² + СМ² - 2 ·ЕС · МС · cos 60°

$\displaystyle EM^2=x^2+\left(\frac{3a}{2}\right) ^2-2\cdot x\cdot \frac{3a}{2}\cdot \frac{1}{2} \\\\\bf EM^2=x^2+\frac{9}{4} a^2-\frac{3}{2} ax$

КЕ² = ЕМ²

$\displaystyle 7a^2-5ax+x^2=x^2+\frac{9}{4}a^2-\frac{3}{2}ax\;\;\;\;\;|\cdot 4\\ \\ 28a^2-20ax=9a^2-6ax\\\\14ax=19a^2\\\\x=\frac{19a}{14}$

⇒    $\displaystyle \bf EC = \frac{19a}{14}$

Тогда:

$\displaystyle AE=3a-\frac{19a}{14}=\frac{42a-19a}{14}=\bf \frac{23a}{14}$

$\displaystyle \frac{AE}{EC}= \frac{23a\cdot 14}{14\cdot19a} =\frac{23}{19}$

АЕ : ЕС = 23 : 19

#SPJ1