Question

2sinx+sin2x+cos2x=1 решение

Answer 1

Ответ:

Применяем формулы двойных углов :

$\bf sin2\alpha =2\cdot sin\alpha \cdot cos\alpha \\\\cos2\alpha =cos^2\alpha -sin^2\alpha=(1-sin^2\alpha )-sin^2\alpha =1-2sin^2\alpha$   , и формулу

косинуса суммы :   $\boldsymbol{cos(\alpha +\beta )=cos\alpha \cdot cos\beta -sin\alpha \cdot sin\beta }$  

Решить уравнение .

$\bf 2\, sinx+sin2x+cos2x=1\\\\2\, sinx+2\, sinx\cdot cosx+1-2sin^2x=1\\\\2\, sinx+2\, sinx\cdot cosx-2sin^2x=0\\\\2\, sinx\cdot (1+cosx-sinx)=0\\\\a)\ sinx=0\ \ \to \ \ \ x_1=\pi k\ ,\ k\in Z\\\\b)\ \ 1+cosx-sinx=0\ \ \to \ \ \ cosx-sinx=-1\ \ \Big|:\sqrt2\\\\\dfrac{1}{\sqrt2}\, cosx-\dfrac{1}{\sqrt2}\, sinx=-\dfrac{1}{\sqrt2}\\\\cos\dfrac{\pi }{4}\cdot cosx-sin\dfrac{\pi }{4}\cdot sinx=-\dfrac{1}{\sqrt2}\\\\cos\Big(\dfrac{\pi }{4}+x\Big)=-\dfrac{1}{\sqrt2}$            

$\bf \dfrac{\pi }{4}+x=\pm \dfrac{3\pi }{4}+2\pi n\ ,\ n\in Z\\\\x=\dfrac{\pi }{4}\pm \dfrac{3\pi }{4}+2\pi n\ ,\ \ n\in Z\\\\x_2=\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{3\pi }{4}+2\pi n=\pi +2\pi n\ \ ,\ \ n\in Z\ \ \ \ \boldsymbol{ili}\\\\x_3=\dfrac{\pi }{4}-\dfrac{3\pi }{4}+2\pi n=-\dfrac{\pi }{2} +2\pi n\ \ ,\ \ n\in Z$

Серия решений  х₂   входит в серию решений  х₁  , поэтому в ответ можно писать только серию  х₁   .

Ответ:  $\bf x=\pi k\ ,\ \ x=-\dfrac{\pi }{2} +2\pi n\ \ ,\ \ k,n\in Z$  .