Докажите что для любых натуральных n: а(13^n+5 делится на 3; б)7^n+5 делиться на 6;в)b^3+5n делиться на 6; г)2n^3-3n^2+n делиться на 6
Ответы
Ответ: Доказано требуемое.
Объяснение:
Докажите что для любых натуральных n:
a) 13^n+5 делится на 3;
б)7^n+5 делиться на 6;
в) n^3+5n делиться на 6;
г)2n^3-3n^2+n делиться на 6
a) Доказываем с помощью сравнений по модулю
13ⁿ + 5 ≡ (13 - 12)ⁿ + 5 ≡ 1ⁿ + 5 ≡ 1 + 5 ≡ 6 ≡ 0 ≡ mod 3 ⇒
13ⁿ + 5 ⁝ 3
б) 7ⁿ + 5 ≡ (7 - 6)ⁿ + 5 ≡ 1 + 5 ≡ 6 ≡ 0 mod 6 ⇒
7ⁿ + 5 ⁝ 6
в) n³ + 5n ≡ n³ + 5n - 6n ≡ n³ - n ≡ mod 6
Получается что нам надо доказать что n³ - n ⁝ 6
Это очевидно т.к n³ - n = (n-1)·n·(n + 1) это произведение трех последовательных чисел, т.е произведение трех последовательных остатков, какие бы три последовательных остатка мы не взяли, их произведение всегда будет кратно 6 ⇒ n³ + 5n ⁝ 6
г) 2n³-3n² + n = n·(n-1)·(2n -1)
Поскольку в разложении данного выражения есть два последовательных числа, то оно в любом случае будет кратно 2, значит нам будет достаточно доказать его кратность к трем
Если сравнить по модулю 3 множитель 2n -1, то можно заметить
2n - 1 ≡ 2n - 1 - 3n ≡ = - 1 - n ≡ -(n +1) ≡ mod 3
Следовательно
n·(n-1)·(2n -1) ≡ -n·(n-1)·(n+1) ≡ mod 3
А это ничто иное как произведение трех последовательных чисел (минус на делимость на 6 не влияет)
⇒ -n·(n-1)·(n+1) ≡ 0 ≡ mod 6
Раз данное выражение кратно 6, то исходное выражение также кратно 3-м и одновременно 2-м ⇒ 2n³-3n² + n ⁝ 6
#SPJ1