Question

решите тригонометрические уравнения:
1) 2cos3x•cos5x-cos2x=0
2) 2sinx•cos3x-sin4x=0
3) sin3x-sin5x+sin7x-sin9x=0
4) sin3x-sin5x+sin7x-sin9x=0

Answer 1

Ответ:

1) Для решения данного уравнения можно использовать формулы произведения и суммы тригонометрических функций:

2cos3x · cos5x - cos2x = 0

Применим формулу произведения:

cos(a) · cos(b) = 0.5 * [cos(a - b) + cos(a + b)]

Подставим данную формулу в исходное уравнение:

2 * 0.5 * [cos(3x - 5x) + cos(3x + 5x)] - cos2x = 0

Упростим:

[cos(-2x) + cos(8x)] - cos2x = 0

Теперь преобразуем уравнение, сгруппировав одинаковые члены:

cos(-2x) + cos(8x) - cos2x = 0

Используем формулу удвоения:

cos(2a) = 2 * cos^2(a) - 1

cos2x = 2 * cos^2(x) - 1

Подставим это значение в уравнение:

cos(-2x) + cos(8x) - (2 * cos^2(x) - 1) = 0

Теперь полученное уравнение можно решить методом подстановки или графическим методом.

2) Данное уравнение:

2sinx · cos3x - sin4x = 0

Можно представить в виде:

sinx(2cos3x) - sin4x = 0

Используем формулу произведения:

sin(a) · cos(b) = 0.5 * [sin(a - b) + sin(a + b)]

Подставляем данную формулу в исходное уравнение:

0.5 * [sin(x - 3x) + sin(x + 3x)] - sin4x = 0

-0.5 * [sin(2x) + sin(4x)] - sin4x = 0

Упростим уравнение, сменяв знак:

0.5 * [-sin(2x) - sin(4x)] + sin4x = 0

-0.5 * sin(2x) - 0.5 * sin(4x) + sin4x = 0

-0.5 * sin(2x) + 0.5 * sin4x = 0

Таким образом, уравнение свелось к простому уравнению:

sin(4x) - sin(2x) = 0

Теперь можно решить это уравнение методом подстановки или графическим методом.

3) Для данного уравнения:

sin3x - sin5x + sin7x - sin9x = 0

Можно использовать формулу раскрытия суммы синусов:

sin(a) + sin(b) = 2 * sin((a + b)/2) * cos((a - b)/2)

sin5x - sin3x = 2 * sin((5x + 3x)/2) * cos((5x - 3x)/2) = 2 * sin(4x) * cos(x)

Используем данную формулу в исходном уравнении:

2 * sin(4x) * cos(x) + sin7x - sin9x = 0

Теперь решаем это уравнение методом подстановки или графическим методом.

4) У вас указано уравнение, которое полностью совпадает с третьим уравнением. Если это опечатка, пожалуйста, уточните вопрос, чтобы я мог дать ответ на этот вопрос.