2. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М(2, 0, 5) перпендикулярно до площини 7x – 3y + 2 = 0.
Ответы
Ответ:
Щоб скласти рівняння прямої, яка проходить через точку \(M(2, 0, 5)\) і перпендикулярна до площини \(7x - 3y + 2 = 0\), спочатку потрібно знайти вектор нормалі для цієї площини.
Для цього коефіцієнти перед \(x\), \(y\) і \(z\) у рівнянні площини \(7x - 3y + 2 = 0\) утворюють вектор нормалі \(N = (7, -3, 0)\).
Тепер, оскільки пряма перпендикулярна до площини, її напрямний вектор буде паралельний вектору нормалі площини. Отже, напрямний вектор прямої \(l\) буде колінеарний вектору нормалі площини, тобто \(l = (7, -3, 0)\).
Тепер, використовуючи точку \(M(2, 0, 5)\) і напрямний вектор \(l = (7, -3, 0)\), можемо скласти параметричне рівняння прямої:
\[
\frac{{x - x_0}}{{a}} = \frac{{y - y_0}}{{b}} = \frac{{z - z_0}}{{c}}
\]
де \((x_0, y_0, z_0)\) - координати точки \(M(2, 0, 5)\), а \((a, b, c)\) - координати напрямного вектора \(l = (7, -3, 0)\).
Підставивши значення, отримаємо:
\[
\frac{{x - 2}}{7} = \frac{{y - 0}}{-3} = \frac{{z - 5}}{0}
\]
Це останнє виразу не визначено через параметри, оскільки \(c = 0\). Отже, рівняння прямої буде:
\[x - 2 = 7t, \quad y = -3t, \quad z = 5\]
де \(t\) - параметр.
Ответ: найдите уравнение линии, которая проходит через точку M(2, 0, 5) и перпендикулярна плоскости 7x - 3y + 2 = 0, мы можем выполнить следующие шаги:
1. Найдите вектор нормали к плоскости:
Коэффициенты при x, y и z в уравнении плоскости представляют собой вектор нормали. В данном случае вектор нормали равен (7, -3, 0).
2. Используйте вектор нормали, чтобы найти вектор направления линии:
Поскольку линия перпендикулярна плоскости, вектор направления прямой будет параллелен вектору нормали к плоскости. Следовательно, вектор направления линии равен (7, -3, 0).
3. Запишите уравнение прямой, используя форму направления точки:
Уравнение линии в форме направления точки имеет вид:
(x - x1)/a = (y - y1)/b = (z - z1)/c,
где (x1, y1, z1) — точка на прямой, а (a, b, c) — вектор направления линии.
Подставив значения, мы имеем:
(х - 2)/7 = (у - 0)/-3 = (z - 5)/0.
Поскольку вектор направления имеет нулевую составляющую для z, мы можем игнорировать z-член в уравнении.
4. Упростите уравнение:
(х - 2)/7 = (у - 0)/-3.
Умножив обе части уравнения на 7 и -3, получим:
-3(х - 2) = 7(у - 0).
Расширяя и упрощая, мы имеем:
-3х + 6 = 7у.
Переставив уравнение, получим:
7у = -3х + 6.
Разделив обе части уравнения на 7, получим:
у = (-3/7)х + 6/7.
Следовательно, уравнение прямой, проходящей через точку М(2, 0, 5) и перпендикулярной плоскости 7x - 3y + 2 = 0, равно y = (-3/7)x + 6/7.
Пошаговое объяснение: