Складіть рiвняння прямої, яка проходить через центр
кола х2 +у2 +2х-4у +1=0 i паралельна прямій у - 1 + 3x=0
Ответы
Відповідь:
Покрокове пояснення:
Щоб знайти рівняння прямої, яка проходить через центр кола і паралельна заданій прямій, спочатку потрібно знайти центр кола. Для цього порівняємо дане рівняння зі стандартним рівнянням кола
(
�
−
�
)
2
+
(
�
−
�
)
2
=
�
2
(x−a)
2
+(y−b)
2
=r
2
, де
(
�
,
�
)
(a,b) - центр кола, а
�
r - радіус.
Дане рівняння кола:
�
2
+
�
2
+
2
�
−
4
�
+
1
=
0
x
2
+y
2
+2x−4y+1=0
Розгорнемо його:
�
2
+
2
�
+
�
2
−
4
�
+
1
=
0
x
2
+2x+y
2
−4y+1=0
Тепер додамо і віднімемо певні константи, щоб скомплектувати квадратні вирази по
�
x та
�
y:
(
�
2
+
2
�
+
1
)
+
(
�
2
−
4
�
+
4
)
−
4
=
0
(x
2
+2x+1)+(y
2
−4y+4)−4=0
Згрупуємо квадратні вирази:
(
�
+
1
)
2
+
(
�
−
2
)
2
−
4
=
0
(x+1)
2
+(y−2)
2
−4=0
Тепер порівняємо зі стандартним рівнянням кола:
(
�
+
1
)
2
+
(
�
−
2
)
2
=
4
(x+1)
2
+(y−2)
2
=4
Отже, центр кола
�
(
−
1
,
2
)
C(−1,2) і радіус
�
=
2
r=2.
Тепер, щоб знайти рівняння прямої, яка проходить через центр кола і паралельна заданій прямій
�
−
1
+
3
�
=
0
y−1+3x=0, використовуємо той факт, що паралельні прямі мають однаковий коефіцієнт наклона.
Задана пряма має вигляд
�
=
−
3
�
+
1
y=−3x+1, отже, її коефіцієнт наклона
�
=
−
3
m=−3. Отже, будь-яка пряма паралельна до неї також матиме коефіцієнт наклона
�
=
−
3
m=−3.
Використовуючи формулу для рівняння прямої
�
=
�
�
+
�
y=mx+b, де
�
m - коефіцієнт наклона, а
�
b - зсув по осі
�
y, підставимо значення центра кола
(
−
1
,
2
)
(−1,2) і коефіцієнта наклона
�
=
−
3
m=−3:
�
=
−
3
�
+
�
y=−3x+b
Підставимо координати центра кола
(
−
1
,
2
)
(−1,2):
2
=
−
3
(
−
1
)
+
�
2=−3(−1)+b
Розв'яжемо для
�
b:
2
=
3
+
�
2=3+b
�
=
−
1
b=−1
Отже, рівняння прямої, яка проходить через центр кола і паралельна заданій прямій, буде:
�
=
−
3
�
−
1
y=−3x−1