Решите систему уравнений х^2+у^4=20 х^4+у^2=20. Пусть (х0;у0) - решение системы. В ответ запишите наименьшее значение х0+у0.
Ответы
Ответ:
-4
Объяснение:
Отнимем систему.
Получим x^4 + y^2 - (x^2 + y^4) = 20 - 20, или x^4 - y^4 + y^2 - x^2 = 0.
Разложим на множители этот многочлен:
х^4 - y^4 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = (x-y)(x+y)(x^2 + y^2).
y^2 - x^2 = (y-x)(y+x).
Получим (х-y)(x+y)(x^2 + y^2) - (y-x)(y+x) = 0.
это всё можно поделить на (x-y)(x+y). Получим x^2 + y^2 - 1 = 0, х = у.
Следовательно, у нас есть 2 решения:
1) x^2 + y^2 = 1
2) x = y.
Из второго варианта, решив одну из систем (это очень легко теперь, когда х^2 + x^4 = 20), получив х = ±2.
Из первого варианта подставляем у = 1 - x^2 и получаем:
х^4 + (1 - x^2)^2 = 20
x^4 + x^4 - 2x^2 + 1 = 20
2x^4 - 2x^2 + 1 = 20
2x^4 - 2x^2 - 19 = 0
x^4 - x^2 - 9.5 = 0
Решим уравнение 4-й степени (слишком длинное решение, чтобы его здесь показывать), получим, что х ≈ 1.90328636..
Этот х не подходит. Да, так бывает, зато мы точно не потеряли ни одного корня.
Следовательно, решение системы одно - |x| = 2, |y| = 2. Самые меньшая сумма х + у равна -2 + -2 = -4
P. S. Задание всё ещё в силе? Я очень долго провозился