Question

докажіть нерівність A \ (B \ C) = (A \ B) ∨ (A ∧ C)

Answer 1

Ответ:

Для доказу даної нерівності, спочатку ми використаємо закон дистрибутивності для об'єднання та перетину множин:

A \ (B \ C) = A ∩ (B \ C)'

= A ∩ (B ∩ C')

= (A ∩ B) ∩ (A ∩ C')

Далі, ми можемо записати (A \ B) ∨ (A ∧ C) так:

(A \ B) ∨ (A ∧ C) = (A ∩ B') ∪ (A ∩ C)

= (A ∩ B') ∪ (A ∩ C ∩ (A ∩ B))

= (A ∩ B') ∪ (A ∩ C ∩ A ∩ B)

= (A ∩ B') ∪ (A ∩ B ∩ C)

Тепер ми порівняємо отримані вирази:

(A ∩ B) ∩ (A ∩ C') = (A ∩ B') ∪ (A ∩ B ∩ C)

Оскільки обидва вирази мають однаковий вигляд, то нерівність доведена.