1. Скласти рівняння площини, що проходить через точку Р(1; 4; -2) перпендикулярно прямій x-1 y-3 z = 2 5 1
2. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку 4(5;-2;-1) паралельно MN, M (0;-2; 1), (3;-4; 4).
3. Чи перпендикулярні прямі 4: 12: x-1 4 y+3_z+1, 1 2 x-1 y+3 z+1 2 -2 -3 ? Вони перетинаються чи мимобіжні, та
x=31-1, 4. Знайти кут між прямою < y'=4-1, та площиною 2=21 2x-3y+62+11=0.
5. Скласти рівняння прямої, що утворює кут 45 з віссю Ох та відсікає на осі у відрізок, рівний 3. Звести рівняння до загаль- ного виду, вказати координати нормального вектора.
6. Звести рівняння кривої до канонічного вигляду, встановити тип кривої,
вказати координати центру, півосі, координати фокусів
побудувати цю криву
4х²+y²=16
Ответы
1. Щоб скласти рівняння площини, що проходить через точку Р(1; 4; -2) і є перпендикулярною прямій x-1 y-3 z = 2 5 1 2, спочатку знайдемо нормальний вектор площини:
Нормальний вектор площини дорівнює коефіцієнтам перед змінним в рівнянні прямої, помноженим на -1:
Нормальний вектор площини: (-1, -3, 2)
Рівняння площини з використанням точки Р та нормального вектора:
-1(x-1) - 3(y-4) + 2(z+2) = 0
Отримуємо рівняння площини: -x + y -z - 1 = 0
2. Щоб скласти рівняння прямої, що проходить через точку 4(5; -2; -1) паралельно mn, m (0; -2; 1), (3; -4; 4), коефіцієнти змінних у рівнянні прямої будуть такими ж, як і в рівнянні mn:
Рівняння прямої: (x-5)/3 = (y+2)/(-2) = (z+1)/3
3. Щоб перевірити, чи перпендикулярні прямі 4: 12: x-1 4 y+3_z+1, 1 2 x-1 y+3 z+1 2 -2 -3, використаємо властивість перпендикулярних прямих: їхні нормальні вектори добуток координат якого дорівнює 0.
Перші координати векторів [4, 12, 1] та [4, 12, 1] мають добуток 4*4 + 12*12 + 1*1 = 169, що не дорівнює 0.
Отже, прямі не є перпендикулярними.
4. Щоб знайти кут між прямою < y'=4-1 та площиною 2=21 2x-3y+62+11=0, спочатку знайдемо нормальний вектор площини:
Рівняння площини можна записати у вигляді: 2(x-21) - 3(y+11) + 6(z+2) = 0.
З отриманого рівняння отримуємо нормальний вектор площини: (2, -3, 6).
Косинус кута між прямою і площиною можна знайти за формулою: cosθ = (a•b)/(|a|•|b|), де a і b - нормальні вектори.
Таким чином:
cosθ = ((4-1) • (2, -3, 6)) / (|2, -3, 6| • |2, -3, 6|)
cosθ = (3 • 8) / (√(2² + (-3)² + 6²) • √(2² + (-3)² + 6²))
cosθ = 24 / (7 • √49)
cosθ = 8/7
Тому, кут між прямою та площиною дорівнює arccos(8/7).
5. Щоб скласти рівняння прямої, що утворює кут 45° з віссю Ох та відсікає на осі у відрізок, рівний 3, ми можемо використати напрямний косинус для знаходження координат напрямного вектора прямої.
Знаємо, що вектор (1, 0, 0) є напрямним вектором вісі Ох.
Тому, напрямний вектор прямої може бути знайдений за допомогою формул:
(n, m, k) = (cosα, cosβ, cosγ), де α - кут між прямою і віссю Ох, β - кут між прямою і віссю Оу і γ - кут між прямою і віссю Оz.
У нашому випадку, α = 45°, а β і γ дорівнюють 0°, оскільки пряма паралельна вісям Оу і Оz.
Таким чином, ми отримуємо напрямний вектор прямої: (cos45°, cos0°, cos0°) = (√2/2, 1, 1).
Тепер, ми можемо скласти рівняння прямої, проходячи через точку (0, 0, 0) і маючи напрямний вектор (√2/2, 1, 1):
(x-0)/(√2/2) = (y-0)/1 = (z-0)/1
2x = y = z
6. Щоб звести рівняння кривої 4х²+y²=16 до канонічного вигляду, спершу виконаємо перетворення.
Отримуємо 4х² + y² = 16
Розділимо обидві частини рівняння на 16:
х²/4 + y²/16 = 1
Тепер можемо записати це рівняння у канонічному вигляді:
(x-0)²/4² + (y-0)²/√16² = 1
Квадратний корінь з 16 дорівнює 4, тому:
(x-0)²/4² + (y-0)²/4² = 1
Координати центра кривої дорівнюють (0, 0), а півосі мають довжину 4.
Крива, яку ми отримали, є еліпсом. Координати фокусів можна знайти, використовуючи формулу:
c² = a² - b², де c - відстань від центра до фокуса, a - довжина півосі, b - довжина другої півосі.
У нашому випадку, a = 4 і b = 4, тому c = √(4² - 4²) = √(16 - 16) = 0.
Отже, фокуси знаходяться в центрі координат (0, 0).
думаю помог )))))))))))))