В сосуд цилиндрической формы поместили 3 куба. Ребро нижнего куба в 2 раза длиннее ребра среднего куба, а ребро среднего куба в 2 раза длиннее ребра верхнего куба. В сосуд начали наливать воду. От нижней грани среднего куба до верхней грани этого же куба вода наливалась со скоростью V2 = 8 мм/c, а от нижней грани верхнего куба до верхней грани этого же куба – V3 = 7 мм/c. Найдите:
1) Скорость V1, с которой вода наливалась от нижней грани нижнего куба до верхней грани этого же куба
2) Среднюю скорость, с которой вода наливалась от дна сосуда до верхней грани верхнего кубика
3) Скорость, с которой вода продолжила наливаться после верхней грани верхнего кубика
Ответы
Ответ:
Для решения этой задачи важно понимать, что объем каждого куба равен объему цилиндрического сосуда. Пусть V1 - скорость, с которой вода наливается от нижней грани нижнего куба до верхней грани этого же куба. Обозначим ребро верхнего куба как a, ребро среднего куба как 2a (в два раза длиннее верхнего куба), и ребро нижнего куба как 4a (в два раза длиннее среднего куба).
Таким образом, объем каждого куба будет равен a^3, (2a)^3 и (4a)^3 соответственно.
1) Для нижнего куба, время, за которое вода наливается от нижней грани до верхней, равно (4a) / V1.
2) Для среднего куба, время, за которое вода наливается от нижней грани до верхней, равно (2a) / V2.
3) Для верхнего куба, время, за которое вода наливается от нижней грани до верхней, равно a / V3.
Так как весь объем сосуда заполняется водой одновременно, объем каждого куба равен объему цилиндрического сосуда:
a^3 + (2a)^3 + (4a)^3 = V (где V - объем цилиндрического сосуда).
Теперь мы можем рассчитать V:
a^3 + 8a^3 + 64a^3 = V
73a^3 = V
Теперь мы можем рассчитать V1, V2 и V3:
1) Для нижнего куба: (4a) / V1 = V / 73a^3
V1 = (73a^4) / (4a)
2) Для среднего куба: (2a) / V2 = V / 73a^3
V2 = (73a^4) / (2a)
3) Для верхнего куба: a / V3 = V / 73a^3
V3 = (73a^4) / a
Теперь мы можем выразить все скорости V1, V2 и V3 в зависимости от a:
1) V1 = 73a
2) V2 = 36.5a
3) V3 = 73a^3
Теперь мы можем рассчитать среднюю скорость, с которой вода наливается от дна сосуда до верхней грани верхнего кубика. Вода весь объем заполняет за время, равное сумме времен для каждого куба:
Средняя скорость = Всего объема / (V1 + V2 + V3)
Средняя скорость = (73a^3) / (73a + 36.5a + 73a^3)
Средняя скорость = (73a^3) / (109.5a + 73a^3)
Средняя скорость = (a^3) / (1.5 + a^2)
Наконец, чтобы найти скорость, с которой вода продолжает наливаться после верхней грани верхнего кубика, вычитаем сумму V1, V2 и V3 из средней скорости:
Скорость после верхней грани верхнего кубика = Средняя скорость - (V1 + V2 + V3)
Скорость после верхней грани верхнего кубика = (a^3) / (1.5 + a^2) - (73a + 36.5a + 73a^3)
Скорость после верхней грани верхнего кубика = (a^3) / (1.5 + a^2) - (109.5a + 73a^3)
Это ответ на третий вопрос.