3. Прямая AN перпендикулярна плоскости равностостроннего треугольника AGU. NR- отрезок соединяющий точку N с серединой cтороны GU. Найдите длину этого отрезка, если AN=AG = 4 см.
чертеж тоже.
Ответы
Объяснение:
За допомогою геометричних властивостей рівностороннього трикутника можна знайти NR, використовуючи те, що AN є висотою і GNR є прямокутним трикутником.
Позначимо середину сторони GU як M. Таким чином, AM є висотою та медіаною, і він ділить трикутник ANG на два рівні прямокутні трикутники AMG та NMG.
За теоремою Піфагора в трикутнику AMG:
\[ MG^2 = AG^2 - AM^2 \]
\[ MG^2 = 4^2 - \left(\frac{GU}{2}\right)^2 \]
\[ MG^2 = 16 - \left(\frac{GU}{2}\right)^2 \]
А також в трикутнику NMG:
\[ NR^2 = NM^2 + MG^2 \]
\[ NR^2 = \left(\frac{GU}{2}\right)^2 + \left( \frac{GU}{2} \right)^2 - \left(\frac{GU}{2}\right)^2 \]
\[ NR^2 = \frac{GU^2}{2} \]
Таким чином, \[ NR = \frac{GU}{\sqrt{2}} \].
З огляду на властивості рівностороннього трикутника, \(GU = 2 \cdot AM\), тобто \(GU = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot AN\).
Підставимо це значення:
\[ NR = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot AN}{\sqrt{2}} \]
\[ NR = \frac{\sqrt{3} \cdot AN}{\sqrt{2}} \]
Враховуючи, що \(AN = AG = 4\) см, ми можемо обчислити NR:
\[ NR = \frac{\sqrt{3} \cdot 4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6} \] см.