складіть рівняння кола:
а) з діаметром AB, якщо А (-1; 5)В (5; - 3)
б) описаного навколо рівностороннього трикутника з точкою перетину меридіан (-4; 9) і периметром 6√3
в) вписаного у квадрат ABCD, якщо A (-1; -3) B (-1; -1) C (1; - 1) D (1; -3)
Ответы
а) Діаметр кола - це відрізок, який проходить через центр кола і має довжину, рівну радіусу. У нашому випадку, діаметр кола проходить через точки (-1; 5) і (5; -3). Розрахуємо його довжину:
d = √((5 - (-1))^2 + ((-3) - 5)^2) = √(36 + 64) = √100 = 10
Отже, радіус кола дорівнює 5. Центр кола знаходиться на середині діаметра. Середина діаметра є точкою перетину медіан трикутника, а медіани рівностороннього трикутника перетинаються в його центрі. Тому центр кола буде також точкою (-2; 2).
Рівняння кола з центром у точці (-2; 2) і радіусом 5 має вигляд:
(x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 25
б) Периметр рівностороннього трикутника дорівнює 3a, де a - сторона трикутника. У нашому випадку, периметр дорівнює 6√3, тому сторона трикутника дорівнює 2√3.
Радіус описаного кола дорівнює половині периметра трикутника, тобто √3. Центр кола знаходиться на перетині медіан трикутника.
Медіани рівностороннього трикутника перетинаються в його центрі, який є також центром описаного кола. Тому центр кола буде точкою (-4; 9).
Рівняння кола з центром у точці (-4; 9) і радіусом √3 має вигляд:
(x + 4)^2 + (y - 9)^2 = 3
в) Діагоналі квадрата перетинаються в його центрі, який є також центром вписаного кола. У нашому випадку, діагоналі квадрата мають довжину √2. Тому радіус вписаного кола дорівнює √2/2.
Центр кола знаходиться в точці перетину діагоналей квадрата, яка є точкою (0; -2).
Рівняння кола з центром у точці (0; -2) і радіусом √2/2 має вигляд:
(x - 0)^2 + ((y + 2)^2 = 2
Ось відповіді:
а) (x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 25
б) (x + 4)^2 + (y - 9)^2 = 3
в) (x - 0)^2 + ((y + 2)^2 = 2