Точка Р не лежить у площині прямокутника АВСД. а) доведіть, що пряма АВ паралельна площині РСД. б) назвіть сторону прямокутника, паралельну площині РАД і доведіть їх паралельність. 2. Площина а перетинає відрізки ОА і ОВ у точках К і М так, що пряма АВ паралельна площині а. Обчисліть довжину відрізка АВ, якщо ОК:КА=2:3, КМ= 7 см.
Ответы
Ответ:
Перевірившись за означенням паралельності двох площин, можемо сказати, що пряма АВ паралельна площині РСД, якщо вона перпендикулярна до прямої, що лежить в площині РСД і перетинає сторони АД і ВС під прямим кутом. Оскільки точка Р не належить до площини, така пряма існує, тому АВ паралельна до неї.
б) Назвемо сторони прямокутника почергово АВ, ВС, СД та ДА. Нехай сторона АВ паралельна площині РАД. Тоді вектор, що її описує, також лежить в цій площині. За означенням, векторна множина СД та ДА паралельна до площини РАД, тому АВ паралельна до СД.
2. ОК:КА=2:3, тому ОК - 2/5 АК, а КА - 3/5 АК. Так як КМ= 7 см, то ОМ - 2/5 АВ.
Позначимо довжину АК за х, тоді КМ= (3/5)х + 7. Оскільки ОМ - 2/5 АВ, то з використанням піфагорової теореми можемо записати:
АК^2 + (3/5)х^2 + 14(3/5)х + 49 = ОМ^2 = ОК^2 + КМ^2 = (2/5)х^2 + (3/5)х^2 + 49
Звідси можемо отримати:
АК^2 = (1/5)х^2 - (14/3)х + 49
Також маємо співвідношення:
ОК:КА = 2:3
(5/5)ОК:(3/5)КА = 2:3
ОМ:АК = 2:3
(5/5)ОМ:(3/5)АК = 2:3
(2/5)х^2 + (3/5)х^2 + 49 = (4/5)ОК^2 + (9/25)х^2
(23/25)х^2 = (4/5)ОК^2 - 49
х^2 = (20/23)((4/5)ОК^2 - 49)
АВ^2 = АК^2 + КМ^2 = х^2 + (3/5)х^2 + 49 + 7^2 = (8/5)х^2 + 120
АВ^2 = (8/5)((4/5)ОК^2 - 49) + 120
АВ = sqrt((32/25)ОК^2 + 264/5 - 196/25) = sqrt((32/25)ОК^2 + 2056/25)
Отже, довжина відрізка АВ дорівнює sqrt((32/25)ОК^2 + 2056/25).