1. Знайти cos(α + β) , sin(α − β), sin2β, cos α\2, tg2α,
якщо sinα = 8\17 , cosβ = −4\5,
π\2< α < π, π < β <3\π2
2. Доведіть тотожність
1+cos2α−cosα
.............................= ctgα.
sin2α−sinα.
(точки и \ это полосы дробей)
Ответы
Ответ:
cos2α = 2 * (15/17)² - 1 = 2 * (225/289) - 1 = (450/289) -
Пошаговое объяснение:
Для обчислення виразів cos(α + β), sin(α − β), sin²β, cos(α/2), tg²α спершу знайдемо значення sinα, cosβ та α та β, використовуючи вказані умови:
Дано:
sinα = 8/17
cosβ = -4/5
π/2 < α < π
π < β < 3π/2
Знайдемо cosα, використовуючи відоме значення sinα та факт, що π/2 < α < π:
cosα = √(1 - sin²α) = √(1 - (8/17)²) = √(1 - 64/289) = √(225/289) = 15/17
Знайдемо sinβ, використовуючи відоме значення cosβ та факт, що π < β < 3π/2:
sinβ = √(1 - cos²β) = √(1 - (-4/5)²) = √(1 - 16/25) = √(9/25) = 3/5
Знайдемо α + β:
Помітимо, що α і β знаходяться в різних квадрантах, і обидва є гострими кутами. Тому ми можемо використовувати тригонометричні тотожності для знаходження суми кутів.
cos(α + β) = cosα * cosβ - sinα * sinβ = (15/17) * (-4/5) - (8/17) * (3/5) = (-60/85) - (24/85) = -84/85
Знайдемо α - β:
Аналогічно до попереднього використовуємо тригонометричні тотожності для різниці кутів.
sin(α - β) = sinα * cosβ - cosα * sinβ = (8/17) * (-4/5) - (15/17) * (3/5) = (-32/85) - (45/85) = -77/85
Знайдемо sin²β:
sin²β = (sinβ)² = (3/5)² = 9/25
Знайдемо cos(α/2) використовуючи половинний кут:
cos(α/2) = ±√((1 + cosα) / 2) = ±√((1 + 15/17) / 2) = ±√((32/17) / 2) = ±√(16/17) = ±4/√17
Знайдемо tg²α:
tg²α = (sinα / cosα)² = (8/17) / (15/17) = (8/15)² = 64/225
Отже, отримали значення виразів:
cos(α + β) = -84/85
sin(α - β) = -77/85
sin²β = 9/25
cos(α/2) = ±4/√17
tg²α = 64/225
Доведення тотожності:
1 + cos²2α - cos2α = ctg2α
спростимо праву частину виразу:
ctg2α = (cos2α / sin2α)
помножимо і поділимо обидві частини на 1/2:
= (2 * cos2α) / (2 * sin2α)
= (2 * cos²α) / (2 * sin²α)
= cos²2α / sin²2α
Зараз давайте знайдемо значення лівої частини тотожності:
1 + cos²2α - cos2α
Знайдемо значення кожного елемента:
Знайдемо значення cos2α:
cos2α = 2 * (cosα)² - 1
Вже маємо значення cosα з попереднього розрахунку:
cos2α = 2 * (15/17)² - 1 = 2 * (225/289) - 1 = (450/289) -