Question

Укажіть кількість цілих значень a, за яких рівняння x2 – (9 – a)x + 20 – 3a – 2a2 = 0 має лише додатні корен

Answer 1

Ответ:

$6$

Объяснение:

$x^2-(9-a)x+20-3a-2a^2=0$

Рівняння має додатні корені, якщо

$D\ge 0\\ x_{1}+x _{2} > 0\\ x _{1} \cdot x _{2} > 0$

$1.\\\\D\ge 0\\\\D=(-(9-a))^2-4\cdot 1\cdot (20-3a-a^2)=81-18a+a^2+80+12a+8a^2=9a^2-6a+161\\\\9a^2-6a+161\ge 0\\\\D_a=(-2)^2-4\cdot3\cdot 161=4-1932=-1928 < 0\\\\a\in R$

$2.\\\\x_{1}+x _{2} > 0\\\\x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{-(9-a)}{1}=9-a\\\\9-a > 0\\\\-a > -9\ \ \ \ |:(-1)\\\\a < 9\\\\a\in(-\infty;9)$

$3.\\\\x _{1} \cdot x _{2} > 0\\\\x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{20-3a-2a^2}{1}=20-3a-2a^2\\\\20-3a-2a^2 > 0\ \ \ |:(-1)\\\\2a^2+3a-20 < 0\\\\D_a=3^2-4\cdot2\cdot(-20)=9+160=169\\\\\sqrt{D_a}=\sqrt{169}=13\\\\a_1=\frac{-3-13}{2\cdot 2}=\frac{-16}{4}=-4\\\\a_2=\frac{-3+13}{2\cdot 2}=\frac{10}{4}=2,5\\\\a\in(-4;2,5)$

з 1), 2), 3)

$a\in(-4;2,5)$

ціле значення a

$\{-3;-2;-1;0;1;2\}$

кількість цілих значень a: $6$