877. Знайдіть кут А трикутника АВС, якщо: 1) A (1; 1; 3), B(5; 3; 3), C (1; 7; 3); 2) A (2; 1; 3), B(7; 4; 5), C (4; 2; 1).
Ответы
Для розв'язання цієї задачі, ми можемо скористатися формулою косинусів. За цією формулою, косинус кута між двома векторами розраховується за допомогою їхнього скалярного добутку і довжин цих векторів.
1) Для трикутника ABC з точками A(1, 1, 3), B(5, 3, 3) та C(1, 7, 3), спочатку розрахуємо вектори AB та AC, а потім їх довжини:
AB = B - A = (5 - 1, 3 - 1, 3 - 3) = (4, 2, 0)
AC = C - A = (1 - 1, 7 - 1, 3 - 3) = (0, 6, 0)
Довжина вектора обчислюється за формулою |v| = √(x^2 + y^2 + z^2).
Довжина AB: |AB| = √(4^2 + 2^2 + 0^2) = √20 = 2√5
Довжина AC: |AC| = √(0^2 + 6^2 + 0^2) = 6
Тепер розрахуємо скалярний добуток векторів AB та AC:
AB · AC = (4 * 0) + (2 * 6) + (0 * 0) = 12
Застосуємо формулу косинусів: cos(A) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|)
cos(A) = 12 / (2√5 * 6) = 2 / √5
Отже, кут A трикутника ABC дорівнює арккосинусу (2 / √5).
A = arccos(2 / √5)
2) Для трикутника ABC з точками A(2, 1, 3), B(7, 4, 5) та C(4, 2, 1), проведемо аналогічні обчислення:
AB = B - A = (7 - 2, 4 - 1, 5 - 3) = (5, 3, 2)
AC = C - A = (4 - 2, 2 - 1, 1 - 3) = (2, 1, -2)
Довжина AB: |AB| = √(5^2 + 3^2 + 2^2) = √38
Довжина AC: |AC| = √(2^2 + 1^2 + (-2)^2) = 3√3
AB · AC = (5 * 2) + (3 * 1) + (2 * -2) = 10 + 3 - 4 = 9
cos(A) = 9 / (√38 * 3√3) = 3 / (√38 * √3) = 3 / √(38 * 3)
Отже, кут A трикутника ABC дорівнює арккосинусу (3 / √(38 * 3)).
A = arccos(3 / √(38 * 3))
Будь ласка, враховуйте, що я надав математичну інформацію на ваш запит, і не можу виконувати розрахунки самостійно. Вам можуть знадобитись калькулятор та інші математичні засоби, щоб розрахувати кути А.