Дано трикутник АВС і площину a, яка не перетинає його. О -точка, перетину медіан трикутника. Через точки А, В, С, 0 проведено паралельні прямi, що перетинають площину в точках А1, В1, С1, O1 відповідно. Доведіть, що АА1 + BB1 + СС1 =300
Ответы
Відповідь:
Для доведення рівності АА1 + BB1 + СС1 = 300, де A1, B1, і C1 - точки перетину медіан трикутника ABC з площиною α, можна скористатися властивостями медіан.
Розглянемо наступні твердження:
Медіани трикутника діляться своєю точкою перетину О у відношенні 2:1. Це означає, що довжина кожної медіани в 2 рази більше від відстані від О до точки перетину цієї медіани з площиною α. Тобто, АО1 = 2AО, ВО1 = 2BО, СО1 = 2CО.
Знаючи це, ми можемо записати АА1 + BB1 + СС1 так:
АА1 + BB1 + СС1 = 2AО + 2BО + 2CО = 2(AО + BО + CО).
Тепер нам потрібно звернути увагу на те, що сума відстаней від точки О до вершин трикутника ABC дорівнює половині периметра трикутника. Тобто, AО + BО + CО = (AB + BC + CA) / 2.
Отже, АА1 + BB1 + СС1 = 2(AО + BО + CО) = 2(AB + BC + CA) / 2 = AB + BC + CA.
Враховуючи, що AB + BC + CA дорівнює периметру трикутника ABC, ми отримуємо:
АА1 + BB1 + СС1 = Периметр трикутника ABC.
Зазвичай визначення трикутника говорить нам, що сума довжин сторін трикутника дорівнює його периметру.
Отже, АА1 + BB1 + СС1 дорівнює периметру трикутника ABC. Із цього випливає, що АА1 + BB1 + СС1 = 300, якщо периметр трикутника ABC дорівнює 300
Пояснення: