Question

5) знайти інтервали монотонності, точки екстремумів та значення функції в цих точках;
6) знайти інтервали опуклості, вгнутості та точки перегину;
7) знайти асимптоти кривої;
8) побудувати графік функції.

Answer 1

Ответ:

График построен.

Объяснение:

Исследовать функцию и построить график:

$\displaystyle \bf y=\frac{x^3}{1-x^2}$

Исследуем функцию сначала.

1. Область определения функции.

1 - х² ≠ 0   ⇒   (1 - х)(1 + х) ≠ 0

х ≠ 1;     х ≠ -1

D(y) = (-∞; -1) ∪ (-1; 1) ∪ (1; +∞)

2. Четность, нечетность.

• Если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x) - нечетная.

$\displaystyle y(-x)=\frac{(-x)^3}{1-(-x)^2}=-\frac{x^3}{1-x^2}$

f(-x) = -f(x)   ⇒   функция нечетная.

3. Пересечение с осями.

х = 0;   у = 0.

График проходит через начало координат.

4. Непрерывность функции. Точки разрыва.

Функция определена на промежутках  (-∞; -1) ∪ (-1; 1) ∪ (1; +∞) и непрерывна на этих промежутках.

Исследуем точки х = ± 1

$\displaystyle \lim_{n \to -1-0} \frac{x^3}{1-x^2} =-\infty\\\\ \lim_{n \to -1+0} \frac{x^3}{1-x^2} =+\infty\\\\ \lim_{n \to 1-0} \frac{x^3}{1-x^2} =+\infty\\\\ \lim_{n \to 1+0} \frac{x^3}{1-x^2} =-\infty$

То есть, в точках х = ±1 функция терпит бесконечный разрыв.

х = ±1 - точки разрыва второго рода.

5. Интервалы монотонности. Точки экстремумов.

Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни.

$\displaystyle y'=\frac{3x^2(1-x^2)-x^3\cdot(-2x)}{(1-x^2)} =\frac{3x^2-3x^4+2x^4}{(1-x^2)^2} =\frac{3x^2-x^4}{(1-x^2)^2}= \\\\=\frac{x^2(3-x^2)}{(1-x^2)^2} =\frac{x^2)(\sqrt{3}-x)(\sqrt{3}+x) }{(1-x^2)^2}$

y' = 0   ⇒   x = 0;     x = -√3;     x = √3

Не забываем про х = ± 1.

Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.

$---[-\sqrt{3} ]+++(-1)+++[0]+++(1)+++[\sqrt{3} ]---$

• Если "+" - функция возрастает, если "-" - функция убывает.

Функция возрастает на промежутках: [-√3; -1); (-1; 0]; [0; 1); (1; √3];

функция убывает на промежутках: (-∞; -√3]; [√3; +∞)

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум, если с минуса на плюс, то в данной точке  - минимум.

⇒ x min = -√3;   x max = √3

$\displaystyle y(-\sqrt{3} )=\frac{-3\sqrt{3} }{-2} =\frac{3\sqrt{3} }{2} \approx 2,6;\;\;\; y(\sqrt{3} )=\frac{3\sqrt{3} }{-2} \approx - 2,6$

6. Выпуклость, вогнутость.

$\displaystyle y''=\frac{(6x-4x^3)(1-x^2)^2-(3x^2-x^4)\cdot 2(1-x^2)\cdot(-2x)}{(1-x^2)^4} =\\\\=\frac{(6x-4x^3)(1-x^2)+4x(3x^2-x^4)}{(1-x^2)^3} =\frac{6x-6x^3-4x^3+4x^5+12x^3-4x^5}{(1-x^2)^3} =\\\\=\frac{6x+2x^3}{(1-x^2)^3} =\frac{2x(3+x^2)}{(1-x^2)^3}$

y'' = 0   ⇒   x = 0

Отметим на числовой оси точки х = 0;   х = ±1 и определим знаки на промежутках:

$+++(-1)---[0]+++(1)---$

• Если производная второго порядка положительна, функция вогнута, если отрицательна - выпукла.

Функция вогнута на промежутках: (-∞; -1); [0; 1);

функция выпукла на промежутках: (-1; 0]; (1; +∞)

х перегиба = 0; у(0) = 0.

7. Асимптоты.

Вертикальные:

$\displaystyle \lim_{n \to {-1}} \frac{x^3}{1-x^2}=-\infty \\\\ \lim_{n \to {1}} \frac{x^3}{1-x^2}=+\infty$

⇒ x = -1;   x = 1 - вертикальные асимптоты.

Наклонная: у = kx + b

$\displaystyle k= \lim_{n \to \infty} \frac{f(x)}{x}= \lim_{n \to \infty} \frac{x^3}{x-x^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{x^3}{x^3} }{\frac{x}{x^3}-\frac{x^3}{x^3} } =-1$

$\displaystyle b= \lim_{n \to \infty} (f(x)-kx)= \lim_{n \to \infty} (\frac{x^3}{1-x^2}+x )= \lim_{n \to \infty} \frac{x^3+x-x^3}{1-x^2} =0$

y = -x - наклонная асимптота.

8. Строим график.