Question

Найдите все простые р такие, что числа (р-1)(р+1)+5 и (р-2)(р+2)+10 являются простыми одновременно (в ответ запишите сумму всех возможных значений).​

Answer 1

Для решения этой задачи мы будем исследовать два выражения: (р-1)(р+1)+5 и (р-2)(р+2)+10.
Раскрывая скобки, получим следующие выражения:
(р-1)(р+1)+5 = р^2 - 1 + 5 = р^2 + 4
(р-2)(р+2)+10 = р^2 - 4 + 10 = р^2 + 6
Чтобы оба выражения были простыми числами одновременно, необходимо, чтобы значения этих выражений были простыми числами.
Изучив данные выражения, мы замечаем, что для любого целого числа р значение р^2 + 4 является четным числом, а значение р^2 + 6 всегда нечетное. Таким образом, для обоих выражений равенство с простым числом возможно только в одном случае: когда р^2 + 4 = 2.
Решая это уравнение, получаем:
р^2 = -2
Квадрат результата уравнения отрицателен, поэтому такое значение р не существует. Следовательно, нет никаких простых значений р, при которых оба выражения (р-1)(р+1)+5 и (р-2)(р+2)+10 являются простыми одновременно.
Сумма всех возможных значений равна 0.