Question

Площина а паралельна стороні АВ трикутника АВС і перетинає сторони АС і ВС в точках К і N, BN = NC. Доведіть, що КN || АВ, і знайдіть довжину сторони АВ, якщо: 1) KN = 9 см, АС = 24 см, КС = 12 см; 2) KN = 8 см, АС= 18 см, КС = 9 см; 3) KN = 11 см, АС = 16 см, КС = 8 см.

Answer 1

Для доведення, що KN || AB, ми можемо використовувати теорему про паралельність сторін трикутника. Ця теорема стверджує, що якщо лінія, яка проходить через одну зі сторін трикутника та паралельна до іншої сторони, то вона розділить цю сторону на два відрізки, які пропорційні до відповідних сторін трикутника.

У нашому випадку, ми маємо трикутник ABC, де BN = NC, і лінія KN паралельна стороні AC. Таким чином, ми можемо використовувати теорему про паралельність для знаходження відношення між KN і AB.

KN = 9 см, AC = 24 см, KC = 12 см:
Ми можемо застосувати теорему про паралельність:
(AK / KB) = (AC / CN)
(AK / KB) = (24 / 12)
(AK / KB) = 2
Звідси ми бачимо, що AK дорівнює 2KB.
Також, KN || AB, оскільки вони розділені в однаковому відношенні, тобто KN / AB = 1/2.
Тепер ми знаємо, що KN || AB, і KN / AB = 1/2.
KN = 8 см, AC = 18 см, KC = 9 см:
Знову застосуємо теорему про паралельність:
(AK / KB) = (AC / CN)
(AK / KB) = (18 / 9)
(AK / KB) = 2
Як і в попередньому випадку, ми бачимо, що AK дорівнює 2KB.
Також, KN || AB, оскільки вони розділені в однаковому відношенні, тобто KN / AB = 1/2.
KN = 11 см, AC = 16 см, KC = 8 см:
Знову застосуємо теорему про паралельність:
(AK / KB) = (AC / CN)
(AK / KB) = (16 / 8)
(AK / KB) = 2
Як і в попередніх випадках, ми бачимо, що AK дорівнює 2KB.
Також, KN || AB, оскільки вони розділені в однаковому відношенні, тобто KN / AB = 1/2.
Отже, у всіх трьох випадках KN || AB, і KN / AB = 1/2.

Щоб знайти довжину сторони AB, ми можемо використовувати вираз для відношення довжин сторін трикутника:

AB = AK + KB

AB = (2KB) + KB (знаючи, що AK = 2KB з попередніх розрахунків)

AB = 3KB

Тепер, маючи KN / AB = 1/2, ми можемо виразити KB відносно KN:

KB = (2/3) * KN

Для KN = 9 см: KB = (2/3) * 9 = 6 см, тоді AB = 3 * 6 = 18 см.
Для KN = 8 см: KB = (2/3) * 8 = 5.33 см (округлено до 2 десяткових), тоді AB = 3 * 5.33 = 16 см (округлено до 2 десяткових).
Для KN = 11 см: KB = (2/3) * 11 = 7.33 см (округлено до 2 десяткових), тоді AB = 3 * 7.33 = 22 см (округлено до 2 десяткових).
Отже, довжина сторони AB у кожному з трьох випадків відповідно буде: 18 см, 16 см і 22 см.