Аналітична геометрія на площині.
Дано точки A,B, C, D на площині.
Вимагатися:
а) скласти рівняння прямих AB і CD і знайти координати точки М
перетину цих прямих.
б) скласти рівняння прямої MN перпендикулярна BD і прямих
паралельних осях координат, що проходять через точку М.
Зробити креслення.
A (-1;7)
B (2;-2)
C (4;3)
D (6;1)
Ответы
а) Вектор АВ = B(2; -2) - A(-1; 7) = (3; -9)
Уравнение АВ: (х + 1)/3 = (у – 7)/(-9) или (х + 1)/1 = (у – 7)/(-3) каноническое.
-3х – 3 = у – 7,
3х + у – 4 = 0 общее.
Аналогично находим уравнение CD.
Вектор CD = D(6; 1) - C(4; 3) = (2; -2)
Уравнение CD: (х - 4)/2 = (у – 3)/(-2) или (х - 4)/1 = (у – 3)/(-1) каноническое.
-х + 4 = у – 3,
х + у – 7 = 0 общее.
Находим координаты точки пересечения прямых АВ: 3х + у – 4 = 0 и CD:
х + у – 7 = 0 решением системы.
{3х + у – 4 = 0
{ х + у – 7 = 0 ( - )
2x + 3 = 0, отсюда х = -3/2 = -1,5.
у = 4 – 3х = 4 – 3*(-3/2) = 4 + (9/2) = 17/2 = 8,5.
Точка М(-1,5; 8,5).
б) Используем свойство уравнения перпендикулярной прямой.
Для прямой Ах + Ву + С1 = 0 перпендикулярная прямая имеет такое уравнение: Вх - Ау+ С2 = 0 или –Bx + Ay + C2 (из условия равенства 0 их скалярного произведения).
Находим перпендикуляр из точки М к прямой CD: х + у – 7 = 0.
MN: х - у + С = 0. Подставим координаты точки М.
-1,5 – 8,5 + С = 0, отсюда С = 1,5 + 8,5 = 10.
Уравнение MN: х - у + 10 = 0.
Прямая, проходящая через точку М и параллельная осям, имеет такие уравнения:
- параллельно оси Ох: у = 8,5.
- параллельно оси Оу: х = -1,5.
