Question

помогите, пожалуйста, решить замечательные пределы

Answer 1

Ответ:

Второй замечательный предел :  

$\bf \lim\limits_{\alpha (x) \to \infty}\, \Big(1+\dfrac{1}{\alpha (x)}\Big)^{\alpha (x)}=e\ \ \ \ ,\ \ \ \ \lim\limits_{\alpha (x) \to 0}\, \Big(1+\alpha (x)\Big)^{\frac{1}{\alpha (x)}}=e$    

$\bf 1)\ \ \lim\limits_{n \to \infty}\, \Big(1+\dfrac{2}{3n}\Big)^{-n}=\lim\limits_{n \to \infty}\, \Big(1+\dfrac{2}{3n}\Big)^{-n\cdot \frac{3n}{2}\cdot \frac{2}{3n}}=\\\\\\=\lim\limits_{n \to \infty}\, \Big(\Big(1+\dfrac{2}{3n}\Big)^{\frac{3n}{2}}\Big)^{\frac{-2n}{3n}}=e^{\lim\limits_{n \to \infty}\frac{-2n}{3n}}=e^{^{-\frac{2}{3}}}$  

$\bf 2)\ \ \lim\limits_{x \to \infty}\, \Big(1-\dfrac{5}{4x}\Big)^{x}=\lim\limits_{n \to \infty}\, \Big(1+\dfrac{-5}{4x}\Big)^{x\cdot \frac{4x}{-5}\cdot \frac{-5}{4x}}=\\\\\\=\lim\limits_{n \to \infty}\, \Big(\Big(1+\dfrac{-5}{4x}\Big)^{\frac{4x}{-5}}\Big)^{\frac{-5x}{4x}}=e^{\lim\limits_{n \to \infty}\frac{-5x}{4x}}=e^{^{-\frac{5}{4}}}$        

$\bf 3)\ \ \lim\limits_{x \to \infty}\, \Big(\dfrac{2+x}{5+x}\Big)^{2x}=\lim\limits_{n \to \infty}\, \Big(1+\dfrac{-3}{5+x}\Big)^{2x\cdot \frac{5+x}{-3}\cdot \frac{-3}{5+x}}=\\\\\\=\lim\limits_{n \to \infty}\, \Big(\Big(1+\dfrac{-3}{5+x}\Big)^{\frac{5+x}{-3}}\Big)^{\frac{-6x}{5+x}}=e^{\lim\limits_{n \to \infty}\frac{-6x}{x+5}}=e^{^{-\frac{6}{1}}}=e^{-6}$  

$\bf 4)\ \ \lim\limits_{z \to 0}\, \Big(1+z\Big)^{-\frac{1}{z}}=\lim\limits_{z \to 0}\, \Big(1+z\Big)^{\frac{1}{z}\cdot (-1)}=\lim\limits_{z \to 0}\, \Big(\Big(1+z\Big)^{\frac{1}{z}}\Big)^{-1}=\\\\\\=e^{\lim\limits_{z \to 0}(-1)}=e^{^{-1}}$  

$\bf 5)\ \ \lim\limits_{x \to 0}\, \Big(1-3x\Big)^{\frac{1}{z}}=\lim\limits_{x \to 0}\, \Big(1+(-3x)\Big)^{\frac{1}{-3x}\cdot (-3)}=\lim\limits_{x \to 0}\, \Big(\Big(1+(-3x)\Big)^{-\frac{1}{3x}}\Big)^{-3}=\\\\\\=e^{\lim\limits_{x \to 0}(-3)}=e^{^{-3}}$

$\bf 6)\ \ \lim\limits_{z \to 0}\, \Big(1+4z\Big)^{\frac{3}{5z}}=\lim\limits_{z \to 0}\, \Big(1+4z\Big)^{\frac{1}{4z}\cdot \frac{4z\cdot 3}{5z}}=\lim\limits_{z \to 0}\, \Big(\Big(1+4z\Big)^{\frac{1}{4z}}\Big)^{\frac{12z}{5z}}=\\\\\\=e^{\lim\limits_{z \to 0}\frac{12z}{5z}}=e^{^{\frac{12}{5}}}=e^{2,4}$