Question

Знайди найменше значення функції f(x)=2x^3+3x^2-12x+1 на відрізку [0;3]
1) f min=0
2)f min=-46
3)f min=1
4)f min=-6

Answer 1

Для знаходження найменшого значення функції f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 1 на відрізку [0;3], спробуємо обчислити значення функції на кінцях відрізка (x = 0 та x = 3) та в критичних точках всередині відрізка.

1. f(0) = 2(0)^3 + 3(0)^2 - 12(0) + 1 = 1
2. f(3) = 2(3)^3 + 3(3)^2 - 12(3) + 1 = 1

Тепер шукатимемо критичні точки, обчислимо похідну функції і розв'яжемо рівняння f'(x) = 0:

f'(x) = 6x^2 + 6x - 12

6x^2 + 6x - 12 = 0

Ділимо обидві сторони на 6:

x^2 + x - 2 = 0

Тепер розв'язуємо квадратне рівняння:

(x + 2)(x - 1) = 0

Звідси отримуємо два значення x: x = -2 і x = 1.

Тепер обчислимо значення функції f(x) в цих точках:

3. f(-2) = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 12(-2) + 1 = -46
4. f(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 12(1) + 1 = -6

Отже, найменше значення функції f(x) на відрізку [0;3] - це f min = -46. Відповідь: 2) f min = -46.