Є 5 мішків з золотом але один мішок з фальшивими монетами. У кожному мішку різна кількість монет. Одна справжня монета 10 грам, фальшива "11" грам. Як одним зважуванням визначити де фальшивий мішок?
Срочнооооо. ДАЮ 20 БАЛОВ
Ответы
Відповідь:
Дивись пояснення.
Покрокове пояснення:
1) Пронумеруємо мішки цифрами від одного до п'яти.
2) Візьмемо з першого мішка одну монету, з другого - дві монети, з третього - три монети, з четвертого - чотири монети, а з п'ятого - п'ять монет.
3) Зважуванням визначаємо сумарну масу всіх відібраних монет:
М = 1 × m₁ + 2 × m₂ + 3 × m₃ + 4 × m₄ + 5 × m₅ ( 1 )
де m₁, m₂, m₃, m₄ та m₅ - вага однієї монети у 1, 2, 3, 4 та 5 мішках відповідно.
4) Аналіз зважування:
Якщо у всіх мішках були лише справжні монети вагою у 10 грам ( m₁ = m₂ = m₃ = m₄ = m₅ = 10 ), то ми отримали би сумарну вагу:
М = 1 × 10 + 2 × 10 + 3 × 10 + 4 × 10 + 5 × 10 = 10 + 20 + 30 + 40 + 50 = 150 грамів.
Зверніть увагу на останню цифру у сумарній вазі - це нуль ( 0 ).
Якщо у якомусь з мішків вага однієї монети буде не 10, а 11 грамів, то остання цифра у сумарній вазі буде відрізнятися від нуля на цифру, що вкаже нам на номер мішка.
З формули ( 1 ) видно, що якщо фальшиві монети знаходяться у першому мішку, то ми отримаємо сумарну вагу, що буде більшою за нормальну ( 150 грамів ) на один грам.
М1 = 1 × 11 + 2 × 10 + 3 × 10 + 4 × 10 + 5 × 10 = 11 + 20 + 30 + 40 + 50 = 151 грам.
Віднімаючи отриману вагу від нормальної отримаємо номер мішка.
М1 - М = 151 - 150 = 1
Аналогічно для інших мішків:
М2 = 1 × 10 + 2 × 11 + 3 × 10 + 4 × 10 + 5 × 10 = 11 + 22 + 30 + 40 + 50 = 152 грами.
М2 - М = 152 - 150 = 2
М3 = 1 × 10 + 2 × 10 + 3 × 11 + 4 × 10 + 5 × 10 = 11 + 20 + 33 + 40 + 50 = 153 грами.
М3 - М = 153 - 150 = 3
М4 = 1 × 10 + 2 × 10 + 3 × 10 + 4 × 11 + 5 × 10 = 11 + 20 + 30 + 44 + 50 = 154 грами.
М4 - М = 154 - 150 = 4
М5 = 1 × 10 + 2 × 10 + 3 × 10 + 4 × 10 + 5 × 11 = 11 + 20 + 30 + 40 + 55 = 155 грам.
М5 - М = 155 - 150 = 5