Question

Точка касания круга, вписанного в равнобедренный треугольник, делит его боковую сторону на отрезки длиной 2 см и 3 см, считая от вершины, лежащей против основания. Найдите радиусы вписанного и описанного кругов треугольника

Answer 1

Пусть радиус вписанного круга треугольника равен r, а радиус описанного круга равен R.
В равнобедренном треугольнике точка касания вписанного круга лежит на медиане, проходящей из вершины треугольника, лежащей против основания. По условию, эта медиана делит боковую сторону на отрезки длиной 2 см и 3 см.
Из свойств треугольника можно заметить, что расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанного круга равно r, а расстояние от вершины треугольника до центра описанного круга равно R.
Таким образом, получаем следующую систему уравнений:
r + R = 2 (условие разбиения боковой стороны на отрезки 2 см и 3 см)
r = R (свойство равнобедренного треугольника)
Решая эту систему уравнений, получаем:
r = R = 1 см
Таким образом, радиус вписанного и описанного кругов треугольника равен 1 см.