Question

Вычислить объём пирамиды вершинами которого являются точки A, B, C, D; высоту, опущенную из вершины D на грань ABC и площадь грани BCD.
A=(1,1,1); B=(2,4,-2); C=(2,0,2); D=(0,1,-1)​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Для знаходження об'єму піраміди, що обмежується вершинами A, B, C, і D, спочатку потрібно визначити площу грані BCD і висоту, опущену з вершини D на цю грань.

1. Знаходження площі грані BCD:

Для знаходження площі грані можна використовувати векторний аналіз. Векторами грані BCD будуть вектори, отримані відповідними векторами між точками:

Вектор AB = B - A = (2 - 1, 4 - 1, -2 - 1) = (1, 3, -3)

Вектор AC = C - A = (2 - 1, 0 - 1, 2 - 1) = (1, -1, 1)

Площа грані BCD може бути знайдена за допомогою векторного добутку цих векторів:

Площа = 1/2 * |AB x AC|,

де |AB x AC| - модуль векторного добутку AB та AC.

AB x AC = (3 * 1 - (-3) * (-1), (-3) * 1 - 1 * 1, 1 * (-3) - 3 * (-1)) = (6, -2, -2)

Тепер знайдемо модуль вектора:

|AB x AC| = √(6² + (-2)² + (-2)²) = √(36 + 4 + 4) = √44

Площа грані BCD = 1/2 * √44

2. Знаходження висоти, опущеної з вершини D:

Висота опущена з вершини D на грань BCD буде перпендикулярною до цієї грані і веде з вершини D до площі грані. Вектор, що представляє цю висоту, може бути знайдений як векторна проекція вектора AD на нормаль грані BCD. Нормаль до грані BCD можна знайти, обчисливши векторний добуток AB і AC, і потім нормалізуючи його.

Нормаль до грані BCD = (AB x AC) / |AB x AC| = (6/√44, -2/√44, -2/√44)

Векторна проекція вектора AD на нормаль до грані BCD буде висотою:

Висота = (AD · Нормаль BCD) * Нормаль BCD

AD = D - A = (0 - 1, 1 - 1, -1 - 1) = (-1, 0, -2)

Висота = (-1, 0, -2) · (6/√44, -2/√44, -2/√44) * (6/√44, -2/√44, -2/√44)

Тепер обчислімо це добуток:

Висота = (-1 * 6/√44 - 0 - 2 * (-2/√44)) * (6/√44, -2/√44, -2/√44)

Висота = (-6/√44 + 4/√44) * (6/√44, -2/√44, -2/√44)

Тепер обчислімо цей векторний добуток:

Висота = (6/√44 - 4/√44, 4/√44 - 2/√44, 4/√44 - 2/√44)

Висота = (2/√44, 2/√44, 2/√44)

Тепер знайдемо модуль цього вектора, який відповідає висоті:

Висота = √((2/√44)² + (2/√44)² + (2/√44)²) = √(4/44 + 4/44 + 4/44) = √(12/44) = √3/√11 = √(3/11)

Тепер, коли ми знайшли площу грані BCD та висоту, ми можемо обчислити об'єм піраміди за допомогою формули:

Об'єм = (1/3) * Площа грані * Висота

Об'єм = (1/3) * (1/2 * √44) * (√3/√11) = (1/6) * √44 * (√3/√11)

Об'єм = (√44/6) * (√3/√11)

Об'єм = (√(4 * 11)/6) * (√3/√11)

Об'єм = (√44/6) * (√3/√11)

Об'єм = (√(4 * 11)/6) * (√3/√11)

Об'єм = (2√11/6) * (√3/√11)

Об'єм = (2/6) * √(11 * 3) * (1/√11)

Об'єм = (√33/3) * (1/√11)

Об'єм = √(33/33)

Об'єм = √1

Об'єм = 1

Отже, об'єм піраміди дорівнює 1 кубічному од