Дані чотири точки А1, А2, А3, А4. Знайти:
рівняння площини А1 A2 А3;
рівняння прямої А2A3;
рівняння прямої А4М, перпендикулярної до площини А1 A2 A3;
рівняння прямої A4N, паралельної до прямої А2А3.
A1(1; 0; -2)
A2(3; 2; 2)
A3(1; 3; -1)
A4(6; 5; -3)
Ответы
Для вирішення цієї задачі нам знадобиться використовувати векторну алгебру та векторні операції. Спочатку знайдемо рівняння площини, пройдемо через точки A1, A2 та A3.
Рівняння площини A1A2A3:
Спершу знайдемо два вектори, які лежать в площині A1A2A3. Використаємо векторну арифметику для цього.
Вектор A1A2: (3 - 1, 2 - 0, 2 - (-2)) = (2, 2, 4)
Вектор A1A3: (1 - 1, 3 - 0, -1 - (-2)) = (0, 3, 1)
Тепер знайдемо нормаль до площини, обчисливши її векторний добуток:
n = (2, 2, 4) × (0, 3, 1)
n = (8, -8, 6)
Тепер, ми можемо скористатися цією нормаллю і однією з точок (скажімо, A1), щоб записати рівняння площини в загальному вигляді:
8x - 8y + 6z + d = 0
Для знаходження d, підставимо координати точки A1 в рівняння:
8(1) - 8(0) + 6(-2) + d = 0
8 - 12 - 16 + d = 0
-20 + d = 0
d = 20
Отже, рівняння площини A1A2A3:
8x - 8y + 6z + 20 = 0
Рівняння прямої A2A3:
Для знаходження рівняння прямої A2A3 використовуємо параметричне рівняння прямої:
x = 3t + 1
y = 2t
z = 2t - 2
Рівняння прямої A4M, перпендикулярної до площини A1A2A3:
Ця пряма буде перпендикулярною до нормалі площини A1A2A3. Отже, вектор цієї прямої буде співпадати з вектором нормалі, тобто (8, -8, 6). Використовуючи точку A4(6, 5, -3) як початок, ми можемо записати параметричне рівняння прямої:
x = 6 + 8t
y = 5 - 8t
z = -3 + 6t
Рівняння прямої A4N, паралельної до прямої A2A3:
Ця пряма буде паралельною до прямої A2A3, тобто буде мати ті ж самі параметричні рівняння:
x = 3t + 1
y = 2t
z = 2t - 2