Дослідіть на екстремум функцію:
А) z = x^3 − 2y^2 + 4xy
Б) z = x^2 + 3(y + 2)^2
Знайдіть частинні похідні другого порядку функції
А) z = arctg(5x + 2y)
Б) z = x ^∛y
даю 85 балів за повне рішення (докладно)
Ответы
А) Дослідження на екстремум функції z = x^3 - 2y^2 + 4xy:
Щоб знайти екстремуми цієї функції, спочатку знайдемо частинні похідні першого порядку:
dz/dx = 3x^2 + 4y
dz/dy = -4y + 4x
Потім прирівняємо ці частинні похідні до нуля і розв'яжемо систему рівнянь, щоб знайти критичні точки:
3x^2 + 4y = 0
-4y + 4x = 0
Розв'язавши цю систему, отримаємо дві критичні точки: (0, 0) та (2/3, 1/3).Потім, для дослідження на екстремум, знайдемо частинні похідні другого порядку:
d^2z/dx^2 = 6x
d^2z/dy^2 = -4
Оскільки d^2z/dx^2 = 6x > 0 при x > 0 і d^2z/dy^2 = -4 < 0, можна зробити висновок, що точка (2/3, 1/3) є локальним мінімумом, а точка (0, 0) не є ні локальним максимумом, ні локальним мінімумом.
Б) Дослідження на екстремум функції z = x^2 + 3(y + 2)^2:
Щоб знайти екстремуми цієї функції, спочатку знайдемо частинні похідні першого порядку:
dz/dx = 2x
dz/dy = 6(y + 2)
Прирівняємо ці частинні похідні до нуля і розв'яжемо систему рівнянь, щоб знайти критичні точки:
2x = 0
6(y + 2) = 0Розв'язавши цю систему, отримаємо одну критичну точку: (0, -2).
Потім, для дослідження на екстремум, знайдемо частинні похідні другого порядку:
d^2z/dx^2 = 2
d^2z/dy^2 = 6Оскільки d^2z/dx^2 = 2 > 0 і d^2z/dy^2 = 6 > 0, можна зробити висновок, що точка (0, -2) є локальним мінімумом.Знайдемо частинні похідні другого порядку функції:
А) Для функції z = arctg(5x + 2y):
Частинні похідні першого порядку:
dz/dx = 5/(1 + (5x + 2y)^2)
dz/dy = 2/(1 + (5x + 2y)^2)
Частинні похідні другого порядку:
d^2z/dx^2 = -50(5x + 2y)/(1 + (5x + 2y)^2)^2
d^2z/dy^2 = -8/(1 + (5x + 2y)^2)^2Б) Для функції z = x^∛y:
Частинні похідні першого порядку:
dz/dx = ∛y * 1/x^2
dz/dy = 1/∛y * ∛y^(-2/3)
Частинні похідні другого порядку:
d^2z/dx^2 = -2/∛y * 1/x^3
d^2z/dy^2 = -2/∛y * (-2/3) * ∛y^(-5/3)
3x^2 + 4y = 0
-4y + 4x = 0