Question

Знайти найбільше та найменше значення функції на заданому проміжку.

Answer 1

Ответ:

в точке х = $\sqrt{3}$   на интервале [1.5; 2] функция имеет локальный минимум.

Объяснение:

Первая производная

$\displaystyle \bigg(\frac{u}{v} \bigg)'=\frac{u'v-uv'}{v^2} \\\\\\\bigg(\frac{x^3}{x^2-1} \bigg)'=\frac{(x^3)'*(x^2-1)-x^3*(x^2-1)'}{(x^2-1)^2} =\frac{3x^4-3x^2-2x^4}{(x^2-1)^2} =\frac{x^2(x^2-3)}{(x^2-1)^2}$

приравняем ее к нулю, получим стационарные точки

х₁ = -$\sqrt{3}$;   х₂ = 0;  х₃ = $\sqrt{3}$    ($\sqrt{3} \approx 1.732$)

из всех стационарных точек в наш отрезок попадает только одна

х₃ = $\sqrt{3}$  

Посмотрим, на концах интервала и в точке

х₃ = $\sqrt{3}$  

f(1.5) =2.7

f(√3) ≈ 2.598

f(2) =2.6(6)

Таким образом, в точке х₃ = $\sqrt{3}$   на интервале [1.5; 2] функция имеет локальный минимум.

p.s. можно было бы рассмотреть и поведение производной в окрестности точки х₃ = $\sqrt{3}$ .

Мы бы получили, что в окрестности точки х₃ = $\sqrt{3}$   производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка х₃ = $\sqrt{3}$  это  точка локального минимума.