Question

Дано прямокутний паралелепіпед ABCDA1B1C1D1.Сторона АВ основи цього паралелепіпеда утворює з діагоналлю АС основи кута, а з діагоналлю АВ бічної грані - кут В. Знайдіть об'єм паралелепіпеда, якщо АВ = а.

Answer 1

Спочатку знайдемо висоту паралелепіпеда (відстань між основами). Оскільки відомо, що сторона АВ утворює кут α з діагоналлю АС основи, то висота паралелепіпеда може бути виражена як:

h = AB * sin(α)

Далі, знаючи висоту та довжину однієї зі сторін паралелепіпеда (AB), можемо знайти площу однієї з бічних граней паралелепіпеда. Нехай ця площа S.

S = AB * h = AB * AB * sin(α)

Тепер, для знаходження об'єму паралелепіпеда, ми можемо помножити площу однієї з бічних граней на довжину паралелепіпеда (яка рівна діагоналі АВ):

V = S * AB1 = AB * AB * sin(α) * AB1

Зараз нам важливо знайти довжину AB1. Оскільки АВ1CD - прямокутний паралелепіпед, то ми можемо використати теорему Піфагора:

AB1² = AB² + B1C²

Де AB - одна зі сторін основи, B1C - інша сторона основи (із за умови, це діагональ АС), тобто B1C = AC = AB * cos(α).

Отже, AB1² = AB² + (AB * cos(α))² = AB²(1 + cos²(α))

AB1 = AB * √(1 + cos²(α))

Знаючи це, ми можемо знайти об'єм паралелепіпеда:

V = AB * AB * sin(α) * AB1 = AB * AB * sin(α) * AB * √(1 + cos²(α))

Тепер, підставимо дані з умови (AB = a) і врахуємо trigonometric identities для sin(α) та cos(α):

V = a * a * sin(α) * a * √(1 + cos²(α)) = a³ * sin(α) * √(1 + cos²(α))

Таким чином, об'єм паралелепіпеда V виражається як функція від a, де a - довжина сторони АВ, і α - кут між стороною АВ та діагоналлю АС основи паралелепіпеда.