Доведіть, що коли бісектриси двох протилежних кутів опуклого чотирикутника паралельні або лежать на одній прямій, то два інших кути чотирикутника рівні.
Ответы
Ответ:
Для доведення цього твердження, розглянемо опуклий чотирикутник ABCD та його протилежні кути: кут A та кут C. Нехай бісектриси цих кутів паралельні або лежать на одній прямій.
Спочатку розглянемо випадок, коли бісектриси кутів A та C паралельні. Нехай BI і DI - це бісектриси кутів A та C відповідно.
Оскільки BI і DI є бісектрисами, то вони ділять кожен з кутів A і C пополам, утворюючи два рівні кути: ∠BIA і ∠DIC.
Тепер розглянемо випадок, коли бісектриси кутів A та C лежать на одній прямій. Нехай BI і DI - це бісектриси кутів A та C відповідно, і вони перетинаються в точці E.
Оскільки бісектриси лежать на одній прямій, то ∠BIE і ∠EIC є суміжніми кутами, і їх сума дорівнює 180 градусів.
Але ∠BIE і ∠DIE також є суміжніми кутами, оскільки точка I є точкою перетину бісектрис кутів A і C.
Отже, ми отримали, що ∠BIE + ∠EIC = ∠BIE + ∠DIE = 180 градусів.
Звідси випливає, що ∠EIC = ∠DIE, тобто кути ∠AED і ∠CED є рівними.
Таким чином, ми довели, що коли бісектриси двох протилежних кутів опуклого чотирикутника паралельні або лежать на одній прямій, то два інших кути чотирикутника рівні.