На рисунку зображено тетраедр SABC SO- його висота. Установіть відність між заданим кутом (1-3) і його градусною мірою. Бажано з поясненням.
Ответы
Пусть дан единичный тетраэдр - все ребра равны 1.
1) △SCB - равносторонний треугольник, ∠(SC;SB) =∠BSC =60°
2) Угол между прямой плоскостью - угол между прямой и ее проекцией.
∠(SB;ABC) =∠(SB;OB) =∠SBO
BM =BC sin60 =√3/2
Правильная пирамида - вершина S падает в центр основания O (точка пересечения высот/биссектрис/медиан). Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1 от вершины, BO:OM=2:1.
BO =2/3 BM =2/3 √3/2 =1/√3
cos(SBO) =OB/SB =1/√3
∠SBO =arccos(1/√3)
3) Угол между плоскостями - угол между перпендикулярами к общей прямой.
Вершина S падает в точку пересечения высот основания, BM - высота, т.е. перпендикуляр к AC. OM - проекция наклонной SM на плоскость основания. Тогда по теореме о трех перпендикулярах SM также перпендикуляр к AC.
∠SACB =∠(OM;SM) =∠SMO
SM=BM (соответствующие высоты в равных треугольниках)
OM =1/3 BM =1/3 SM
cos(SMO) =OM/SM =1/3
∠SMO =arccos(1/3)