Question

Помогите пожалуйста решить задачу, сложна задача , номер 2​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

 Вспомним критерий Коши сходимости последовательности: последовательность $x_n$ сходится тогда и только тогда, когда для любого $\epsilon > 0$ существует натуральное N такое, что при всех натуральных p и q расстояние между $x_{N+p}$  и $x_{N+q}$ меньше $\epsilon.$

В нашем примере  $x_n=x_{n-1}+\frac{1}{2^n}=x_{n-2}+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n-1}}=\ldots=a+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n-1}}+\ldots+\frac{1}{2^2}.$

Пусть какие-то N, p и q заданы (пусть для определенности p>q), тогда

$|x_{N+p}-x_{N+q}|=\frac{1}{2^{N+p}}+\frac{1}{2^{N+p-1}}+\ldots +\frac{1}{2^{N+q+1}}=\dfrac{\frac{1}{2^{N+q+1}}-\frac{1}{2^{N+p+1}}}{1-\frac{1}{2}} < \dfrac{\frac{1}{2^{N+q+1}}}{\frac{1}{2}} < \frac{1}{2^N}.$

Поэтому если для произвольного $\epsilon$ мы подберем N так, чтобы $\dfrac{1}{2^N}$ был меньше $\epsilon$ (то есть $2^N > \dfrac{1}{\epsilon},$  то есть $N > \log_2\frac{1}{\epsilon}$), то условие критерия Коши будет выполнено, то есть последовательность  сходится.

Мы воспользовались формулой для суммирования геометрической прогрессии

$b_1+b_2+\ldots +b_k=b_1+b_1q+b_1q^2+\ldots+b_1q^{k-1}=\dfrac{b_1-b_{k+1}}{1-q}=\dfrac{b_1-b_1q^k}{1-q}.$