4. Доведіть, що відрізок, який з'єднує вершину прямого кута з центром квадрата, побудованого зовнi на гіпотенузі, ділить прямий кут навпіл. Виразіть довжину цього відрізка через катети трикутника.
Ответы
Ответ:Для доведення цього твердження розглянемо прямокутний трикутник, що утворюється катетами і відрізком, який з'єднує вершину прямого кута з центром квадрата. Позначимо катети як a і b, а відрізок, що з'єднує вершину прямого кута з центром квадрата, як c.
За теоремою Піфагора для прямокутних трикутників ми знаємо, що:
a^2 + b^2 = c^2.
Тепер давайте розглянемо квадрат, побудований на гіпотенузі (прямокутній трикутник, якого ми розглядаємо), і виразимо площу цього квадрата двома способами.
1. Площа квадрата дорівнює гіпотенузі в квадраті (центральна теорема арифметики):
Гіпотенуза в квадраті = c^2.
2. Площа квадрата також може бути виражена як сума площ квадратів, побудованих на катетах:
Площа квадрата = a^2 + b^2.
Оскільки площа квадрата одна і та ж сама, ми можемо встановити рівність обох виразів:
c^2 = a^2 + b^2.
Тепер ми бачимо, що відрізок c (який з'єднує вершину прямого кута з центром квадрата) ділить прямий кут навпіл, оскільки ми показали, що квадрат, побудований на гіпотенузі, має площу, рівну сумі площ квадратів, побудованих на катетах трикутника.
Объяснение: