Question

Доведіть, що коли квадрат сторони трикутника дорівнює не повному квадрату суми двох інших сторін, то протилежний цій стороні кут дорівнює 120°.​

Answer 1

Позначимо сторони трикутника як a, b і c, де c - гіпотенуза (найбільша сторона), a і b - інші дві сторони. Тоді маємо:

c^2 = a^2 + b^2

Тепер, за умовою задачі, квадрат сторони трикутника дорівнює не повному квадрату суми двох інших сторін, що можна записати як:

c^2 = (a + b)^2

Розглянемо рівняння c^2 = a^2 + b^2 і рівняння c^2 = (a + b)^2 окремо:

c^2 = a^2 + b^2

За теоремою косинусів для кута α між сторонами a і b:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(α)

Аналогічно, для рівняння c^2 = (a + b)^2, за теоремою косинусів для кута β між сторонами a і b:

c^2 = a^2 + b^2 + 2ab * cos(β)

За умовою задачі, c^2 = a^2 + b^2 і c^2 = (a + b)^2. Таким чином, ми маємо два вирази для c^2, і обидва повинні дорівнювати одній і тій же величині:

a^2 + b^2 = a^2 + b^2 + 2ab * cos(β)

Це означає, що 2ab * cos(β) = 0, або cos(β) = 0. Щоб кут β дорівнював 120°, cos(β) має бути рівним -0,5 (оскільки cos(120°) = -0,5). Таким чином, коли c^2 = a^2 + b^2, протилежний кут β дорівнює 120°.