Question

С решением найдите f(3).
Изобразите график, если нужен

Answer 1

Ответ:    $\bf f(x)=-8\dfrac{79}{81}$   .        

Известно , что  $\bf f(x)+2\cdot f\Big(\dfrac{1}{x}\Big)=x^3\ \ \ (*)$    при    $\bf x\ne 0$   .  Найти  $\bf f(3)$  ,

Так как от обозначения переменной функция не меняется , то запишем заданное выражение через переменную  t  :

$\bf f(t)+2\cdot f\Big(\dfrac{1}{t}\Big)=t^3$  .

Теперь легко можно записать выражение, заменяя  t  на  1/x  ,

$\bf t=\dfrac{1}{x}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ f\Big(\dfrac{1}{x}\Big)+2\cdot f(x)=\dfrac{1}{x^3}\ \ (**)$          

Или можно записать    $\bf 2\cdot f(x)+f\Big(\dfrac{1}{x}\Big)=\dfrac{1}{x^3}\ \ \ (**)$  

Умножим уравнение  $\bf (**)$  на  -2  и  прибавим к уравнению   $\bf (*)$ :  

$\left\begin{array}{l}\bf f(x)+2\cdot f\Big(\dfrac{1}{x}\Big)=x^3\\\bf -4\cdot f(x)-2\cdot f\Big(\dfrac{1}{x}\Big)=-\dfrac{2}{x^3}\end{array}\right\\----------------------\\\bf -3\cdot f(x)=x^3-\dfrac{2}{x^3}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ f(x)=-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2}{3x^3}$    

Теперь найдём значение функции при  х=3 :

$\bf f(3)=-\dfrac{3^3}{3}+\dfrac{2}{3\cdot 3^3}=-9+\dfrac{2}{81}=-\dfrac{727}{81}=-8\dfrac{79}{81}$