Question

12y^2 - 12x - 32y - 29 = 0 Найти канонический вид( это парабола я так понимаю) и характеристики. Пожалуйста!

Answer 1

Ответ:

Парабола   $\bf 12y^2-12x-32y-29=0$  .

Приведём к каноническому виду , выделив полный квадрат .

$\displaystyle \bf 12y^2-32y=12\cdot \Big(y^2-\frac{8}{3} \, y\Big)=12\cdot \Big(\Big(y-\frac{4}{3}\Big)^2-\Big(\frac{4}{3}\Big)^2\Big)=12\cdot \Big(y-\frac{4}{3}\Big)^2-\frac{64}{3}\ ;\\\\\\12y^2-12x-32y-29=0\\\\12\cdot \Big(y-\frac{4}{3}\Big)^2-\frac{64}{3}=12x+29\\\\12\cdot \Big(y-\frac{4}{3}\Big)^2=12x+29+\frac{64}{3}\\\\12\cdot \Big(y-\frac{4}{3}\Big)^2=12x+\frac{151}{3}\\\\12\cdot \Big(y-\frac{4}{3}\Big)^2=12\cdot \Big(x+\frac{151}{36}\Big)$

$\bf \Big(y-\dfrac{4}{3}\Big)^2=x+\dfrac{151}{36}$

По каноническому виду параболы делаем заключение, что    

- ветви параболы направлены вправо ,

- вершина параболы находится в точке  

$\bf V\Big(\ x_{v}\ ;\ y_{v}\ \Big)\ ,\ V\Big(-\dfrac{151}{36}\ ;\ \dfrac{4}{3}\ \Big)$  

ось симметрии параболы - прямая   $\bf y=\dfrac{4}{3}$  ,

- параметр  равен   $\bf 2p=1\ \ ,\ \ p=\dfrac{1}{2}$   ,    

- фокус находится в точке  

$\bf F\Big(x_{v}+\dfrac{p}{2}\ ;\ y_{v}\Big)\ \ \Rightarrow \ \ F\Big(\ -\dfrac{151}{36}+\dfrac{1}{4}\ ;\ \dfrac{4}{3}\ \Big)\ \ ,\ \ F\Big(\ -\dfrac{71}{18}\ ;\ \dfrac{4}{3}\ \Big)$  ,

- уравнение директрисы - $\bf x=x_{v}-\dfrac{p}{2}\ \ \Rightarrow \ \ x=-\dfrac{151}{36}-\dfrac{1}{4}\ \ ,\ \ x=-\dfrac{40}{9}$