Question

довести що сума 3¹+3²+3³+3⁴+...3¹⁰⁰ ділиться на 120 скажіть пж бистро​

Answer 1

Для доведення того, що сума 3¹ + 3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3¹⁰⁰ ділиться на 120, спростимо цю суму та розділимо на 120.

Спростимо суму:

3¹ + 3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3¹⁰⁰ = 3¹(1 + 3 + 3² + 3³ + ... + 3⁹⁹)

Тепер розглянемо суму у дужках:

1 + 3 + 3² + 3³ + ... + 3⁹⁹

Ця сума є геометричною прогресією з першим членом (a) рівним 1 та з різницею (r) рівною 3. Для обчислення суми геометричної прогресії використовуємо формулу:

Sₙ = a(1 - rⁿ) / (1 - r)

де Sₙ - сума перших n членів прогресії.

Тепер підставимо значення:

S₉₉ = 1(1 - 3⁹⁹) / (1 - 3)

Тепер обчислимо це:

S₉₉ = 1(1 - 3⁹⁹) / (1 - 3) = (1 - 3⁹⁹) / (-2)

Тепер повернемося до спрощеної суми:

3¹(1 + 3 + 3² + 3³ + ... + 3⁹⁹) = 3¹ * S₉₉ = 3¹ * ((1 - 3⁹⁹) / (-2))

Розділимо це на 120:

(3¹ * ((1 - 3⁹⁹) / (-2))) / 120

Тепер спростимо вираз:

(3¹ * ((1 - 3⁹⁹) / (-2))) / 120 = (3 * (1 - 3⁹⁹) / (-2)) / 120

Тепер поділимо чисельник на 2 та знайдемо остачу від ділення 1 - 3⁹⁹ на 3:

(3 * (1 - 3⁹⁹) / (-2)) / 120 = ((1 - 3⁹⁹) / (-2)) / 40

(1 - 3⁹⁹) / (-2) ділиться на 3 без залишку (оскільки 3⁹⁹ - непарне число), а потім поділити на 40 не вплине на те, чи ділиться це число на 120.

Отже, сума 3¹ + 3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3¹⁰⁰ ділиться на 120.