У рівнобедреному трикутнику ABC (AB=BC), проведено бісектриси AA1, BB1. Знайдіть кути трикутника ABC, якщо AA1=2 BB1.
Потрібен детальний розв'язок. Даю 100 БАЛІВ.
Ответы
Ответ:
Для початку позначимо кути трикутника ABC. Нехай AСВ = BAC = x (оскільки трикутник ABC рівнобедрений, кути при основі рівні), а ABC = 180 - 2x (оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°).
За визначенням бісектриси, кут A1AB = A1AC = A, а кут B1BA = B1BC = B.
Оскільки AA1 = 2BB1, то АА1 = 2BA1 (1) (оскільки кути при основі рівні)
Розглянемо трикутник A1AB. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, маємо:
A + A1AB + A1BA = 180 => A + A + (180 - 2x - A - 2B) = 180 => 3A + 2B = 2x (2)
Розглянемо трикутник A1AC. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, маємо:
A1AC + A1CA + A = 180 => (180 - A - 2B) + (180 - 2x - A - A1AC) + A = 180 => 2A = 4x - 360 + 2B (3)
Розглянемо третє рівняння (1). Перетворимо його:
AA1 = 2BA1 => 2x − A1BC = x => x = A1BC (4)
Підставимо значення з (4) до (3):
2A = 4x - 360 + 2B => 2A = 4A1BC - 360 + 2B => 2A - 4A1BC = 2B - 360 => A - 2A1BC = B - 180 (5)
Підставимо значення з (4) до (2):
3A + 2B = 2x => 3A + 2B = 2A1BC => 2A + 2B = 2A1BC (6)
Розв'яжемо систему рівнянь (5) і (6). Домножимо (5) на 2 і віднімемо від (6):
2A - 4A1BC - 4A + 4A1BC = 2B - 360 - 2A1BC => 2B - 4A + 360 = 2B - 360 - 2A1BC => -4A + 720 = - 2A1BC => A - 180 = - 0.5A1BC => 2A - 360 = - A1BC (7)
Розгялнемо трикутник ABC.
A + 3A + 2B = 180 (оскільки ABC - рівнобедрений трикутник, що означає ABC = 180 - 2x)
4A + 2B = 180 - 2x => 720 - 4x = 180 - 2x => 2x = 540 => x = 270 (8)
Підставимо значення x в рівняння (7):
2 * 270 - 360 = - A1BC => 180 - 360 = - A1BC => - 180 = -A1BC => A1BC = 180 (9)
Таким чином, з рівняння (4) отримуємо x(A1BC) = 180°, отже, кути трикутника ABC дорівнюють 180°. Отже, трикутник ABC - рівносторонній.