Question

Дано:

пряма L1: -2+у-1=0



точка М(-1;2)



Знайти:



рівняння прямої L2, що проходить через точку М перпендикулярну до прямої L1;



рівняння прямої L3, що проходить через точку М паралельно прямій L1;



рівняння прямої L4, що проходить через точку М під кутом 45 градусів до прямої L1.

Answer 1

Даны прямая L₁: -2х +у-1=0, точка М(-1;2). Найти:

1) уравнение прямой L₂, проходящей через точку М перпендикулярную прямой L₁;

2) уравнение прямой L ₃, проходящей через точку M параллельно прямой L₁;

3) уравнение прямой L₄, проходящей через точку М под углом 45 градусов к прямой L₁.

Решение. Преобразуем уравнение

L₁: -2х +у-1=0.

Получим у=2х+1, k=2, b=1

1) Общее уравнение прямой у=кх+b. Тк L₁⊥L₂⇒ k₁•k₂=-1 , k₂=-1:2=-0,5.

Найдем b ,М(-1;2).

2=-0,5•(-1)+b , b=1,5. Значит

L₂ : у=2х+1,5 или 2х-у+1,5=0

2)Общее уравнение прямой у=кх+b. Тк L₁||L₃ ⇒ k₁=k₃=2.

Найдем b, М(-1;2).

2=2•(-1)+b , b=4. Значит

L₃ : у=2х+4 или 2х-у+4=0.

3) α=45°, к₁=2 . Воспользуемся формулой связывающей угловые коэффициенты пересекающихся прямых .

tg α=( k₄- k₁)/(1+ k₁• k₄).

tg 45°=( k₄- 2)/(1+ 2•k₄ ),

1=( k₄- 2)/(1+ 2•k₄),

1+ 2•k₄ = k₄- 2 ⇒ k₄=-3.

Найдем b, М(-1;2).

2=2•(-3)+b , b=8. Значит

L₄ : у=-3х+8 или -3х-у+4=0.

====================

Правила.

у₁= k₁х+b₁ и у₂=k₂х+b₂

- Если угловые коэффициенты линейных функций k₁•k₂=-1, то прямые перпендикулярны;

- Если угловые коэффициенты линейных функций равны k₁= k₂, а b₁ ≠ b₂, то прямые параллельны;

- угловые коэффициенты пересекающихся( под углом α ) линейных функций связаны соотношением

α=( k₂- k₁)/(1+ k₁•k₂).