Периметр прямоугольник равен 10, а площадь равно 4,5. Найдите диагональ этого прямоугольника.
Ответы
Ответ:
Давайте позначимо довжину прямокутника як "a" і ширину як "b". Ми знаємо, що периметр прямокутника дорівнює 10 і площа дорівнює 4,5, тобто:
2a + 2b = 10 (периметр)
ab = 4,5 (площа)
Ми можемо вирішити цю систему рівнянь для a і b. Спочатку розв'яжемо одне з рівнянь на "a":
2a + 2b = 10
2a = 10 - 2b
a = 5 - b
Тепер підставимо це значення "a" в друге рівняння:
(5 - b)b = 4,5
5b - b² = 4,5
Позначимо b² - 5b + 4,5 = 0. Це квадратне рівняння можна розв'язати за допомогою дискримінанту (D):
D = b² - 4ac, де a = 1, b = -5, і c = 4,5.
D = (-5)² - 4 * 1 * 4,5
D = 25 - 18
D = 7
Тепер ми можемо знайти значення "b" за допомогою квадратного кореня дискримінанту:
b = (-b ± √D) / 2a
b = (5 ± √7) / 2
Отже, ми маємо два можливі значення для "b", а саме:
1. b = (5 + √7) / 2
2. b = (5 - √7) / 2
Тепер, коли ми знаємо значення "b", ми можемо знайти відповідні значення "a" та діагоналі (D) за допомогою формул:
a = 5 - b
D = √(a² + b²)
Підставляючи значення "b" у ці формули, ми знайдемо дві можливі довжини і ширини прямокутника та відповідні діагоналі.
1. Периметр прямоугольника равен 10, значит, сумма его сторон (a + b) равна 10 / 2 = 5.
2. Площадь прямоугольника равна 4,5, значит, произведение его сторон (a * b) равно 4,5.
Теперь нам нужно найти диагональ прямоугольника. Диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного двумя сторонами прямоугольника. По теореме Пифагора, квадрат диагонали равен сумме квадратов сторон прямоугольника (d² = a² + b²).
Однако, нам не нужно находить значения a и b отдельно. Мы можем выразить a² + b² через периметр и площадь прямоугольника:
(a + b)² = a² + 2ab + b² = 5² = 25,
тогда
a² + b² = 25 - 2ab = 25 - 2 * 4,5 = 16.
Таким образом, диагональ прямоугольника равна корню из 16, то есть d = √16 = 4. Ответ: диагональ прямоугольника равна 4.