3)
(9/2)^x+4 ≥ (4/81)^3+x
4)
(1/32)^x ≤8^2x-1
Ответы
Відповідь:
Знайдемо розв'язок нерівностей крок за кроком:
(9/2)^x+4 ≥ (4/81)^3+x
Спершу спростимо праву частину, виразивши (4/81)^3+x у степені 9, оскільки 4 та 81 обидва є степенями 3:
(4/81)^3+x = ((2^2)/(3^4))^(3+x) = (2^(2(3+x)))/(3^(4(3+x)))
Тепер нерівність стає:
(9/2)^(x+4) ≥ (2^(2(3+x)))/(3^(4(3+x)))
Щоб зробити основи показників степенів однаковими, ми можемо використати той факт, що (a^m)/(b^m) = (a/b)^m:
(9/2)^(x+4) ≥ (2/3)^(4(3+x))
Тепер обидві сторони мають однакову основу (9/2 та 2/3), тож ми можемо прирівняти показники:
x+4 ≥ 4(3+x)
Тепер спростимо і знайдемо розв'язок для x:
x + 4 ≥ 12 + 4x
Віднімемо 4x з обох сторін:
x - 4x + 4 ≥ 12
Об'єднайте подібні члени:
-3x + 4 ≥ 12
Відніміть 4 з обох сторін:
-3x ≥ 8
Тепер розділімо на -3, але не забувайте змінити напрям нерівності, оскільки ви ділите на від'ємне число:
x ≤ -8/3
Отже, розв'язком нерівності є x ≤ -8/3.
(1/32)^x ≤ 8^(2x-1)
Ми можемо спростити цю нерівність, виразивши 1/32 та 8 через степені 2:
1/32 = 2^(-5)
8 = 2^3
Тепер нерівність стає:
(2^(-5))^x ≤ (2^3)^(2x-1)
Використовуйте властивість степенів (a^(m*n) = (a^m)^n) на правій стороні:
2^(-5x) ≤ 2^(6x-3)
Тепер обидві сторони мають однакову основу (2), тож ми можемо прирівняти показники:
-5x ≤ 6x - 3
Знайдемо розв'язок для x:
-5x - 6x ≤ -3
-11x ≤ -3
Тепер розділімо на -11, але не забувайте змінити напрям нерівності, оскільки ви ділите на від'ємне число:
x ≥ 3/11
Отже, розв'язком нерівності є x ≥ 3/11.
Покрокове пояснення:
3)
(9/2)^x+4 ≥ (4/81)^3+x
(3/2)^x ≥ 64/531441+x
(3/2)^x ≥ (64+531441x)/531441
3/2 ≥ (64+531441x)/531441
531441 ≤ 128+1062882x
-1062882x ≤ -530163
x ≥ 530163/1062882
(4) (1/32)^x ≤ 8^2x-1
(1/32)^x ≤ 8^2x-1
(1/2^5)^x ≤ (2^3)^2x-1
2^-5x ≤ 2^6x-3
-5x ≤ 6x-3
x ≥ 3/11