Question

Дослідити функцію методами диференціального числення та побудувати її графік.

Answer 1

Ответ:

График построен.

Объяснение:

Исследовать функцию и построить график.

$\displaystyle \bf y=\frac{2x^3}{x^2-4}$

1. Область определения функции.

х² - 4 ≠ 0   ⇒   х ≠ ±2

D(y) = (-∞; -2) ∪ (-2; 2) ∪ (2; +∞)

2. Пересечение с осями.

1) ось Оу   ⇒   х = 0

2) ось Ох  ⇒  у = 0

График пересекает оси в точке (0; 0)

3) Четность, нечетность.

• Если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x) - нечетная.

$\displaystyle y(-x)=\frac{2\cdot (-x)^3}{(-x)^2-4} =-\frac{2x^3}{x^2-4}$

f(-x) = -f(x) ⇒ функция нечетная

4. Асимптоты.

1) вертикальные.

$\displaystyle \lim_{x \to \pm2} \frac{2x^3}{x^2-4}=\pm \infty$

⇒   x = ±2 - вертикальные асимптоты

2) наклонная  у = kx + b

$\displaystyle k= \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3}{x^3-4x}= \lim_{x \to \infty} \frac{2\cdot \frac{x^3}{x^3} }{\frac{x^3}{x^3}-\frac{4x}{x^3} } =2$

$\displaystyle b= \lim_{x \to \infty} (f(x)-kx)= \lim_{x \to \infty} (\frac{2x^3}{x^2-4} -2x)=\\ \\\\= \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3-2x^3+8x}{x^2-4} =0$

⇒   y = 2x - наклонная асимптота.

5. Возрастание, убывание, точки экстремума.

Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни.

$\displaystyle y'=\frac{6x^2(x^2-4)-2x^3\cdot2x}{(x^2-4)^2} =\frac{6x^4-24x^2-4x^4}{(x^2-4)^2} =\\\\\\=\frac{2x^4-24x^2}{(x^2-4)^2} =\frac{2x^2(x-2\sqrt{3})(x+2 \sqrt{3}) }{(x^2-4)^2}$

y' = 0

⇒  x = 0;   x = 2√3;   x = -2√3

Также учитываем точки, в которых функция не существует:

х = -2;   х = 2.

$+++[-2\sqrt{3} ]---(-2)---[0]---(2)---[2\sqrt{3}] +++$

• Если "+" - функция возрастает, если "-" - функция убывает.

Функция возрастает на промежутках: (-∞; -2√3];   [2√3; +∞);

убывает:   [-2√3; -2);   (-2; 0];   [0; 2); (2; 2√3].

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум, если с минуса на плюс, то в данной точке  - минимум.

⇒ x max = -2√3;   x min = 2√3.

6.  Выпуклость, вогнутость.

Найдем производную второго порядка, приравняем к нулю и найдем корни.

$\displaystyle y''=\frac{(8x^3-48x)(x^2-4)^2-(2x^4-24x^2)\cdot2(x^2-4)\cdot2x}{(x^2-4)^4} =\\\\\\=\frac{(x^2-4)(8x^5-32x^3-48x^3+192x-8x^2+96x^3)}{(x^2-4)^4} =\\\\\\=\frac{16x^3+192x}{(x^2-4)^3} =\frac{16x(x^2+12)}{(x^2-4)^3}$

y'' = 0   ⇒   x = 0

Также учитываем точки, в которых функция не существует:

х = -2;   х = 2.

$---(-2)+++[0]---(2)+++$

• Если производная второго порядка положительна, функция вогнута, если отрицательна - выпукла.

Функция выпукла на промежутках: (-∞; -2);   [0; 2)

вогнута: (-2; 0];   (2; +∞)

х = 0 - точка перегиба.

Строим график.