Question

Дослідити функцію методами диференціального числення та побудувати її графік.

Answer 1

Ответ:

График построен.

Объяснение:

Исследовать функцию и построить график.

у = 3х⁴ - 4х³ + 1

1. Область определения функции:

х ∈ R

2. Четность, нечетность.

• Если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x) - нечетная.

f(-x) = 3 · (-x)⁴ - 4 · (-x)³ + 1 = 3x⁴ + 4x³ + 1

f(-x) ≠ f(x) ≠ -f(x)

⇒ функция не является четной или нечетной.

3. Функция непрерывна. Асимптот нет.

4. Возрастание, убывание. Точки экстремума.

Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни.

у' = 3 · 4x³ - 4 · 3x² = 12x³ - 12x² = 12x²(x - 1)

12x²(x - 1) = 0

x = 0;     x = 1

Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.

$---[0]---[1]+++$

• Если "+" - функция возрастает, если "-" - функция убывает.

⇒ функция убывает на промежутках (-∞; 0],   [0; 1];

функция возрастает на промежутке [1; +∞)

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум, если с минуса на плюс, то в данной точке  - минимум.

⇒ x min = 1

y(1) = 0

5. Выпуклость, вогнутость. Точки перегиба.

Найдем производную второго порядка, приравняем к нулю и найдем корни.

y'' = 12 · 3x² - 12 · 2x = 36x² - 24x = 12x (3x - 2)

12x (3x - 2) = 0

x = 0;     x = 2/3

Определим знаки производной на промежутках.

$+++[0]---[2/3]+++$

• Если производная второго порядка положительна, функция вогнута, если отрицательна - выпукла.

⇒ функция вогнута на промежутках (-∞; 0];  [2/3; +∞);

функция выпукла на промежутке [0; 2/3]

• Точки, в которых вторая производная меняет знак - точки перегиба.

х перегиба = {1; 2/3}

y(1) = 0;     y(2/3) = 11/27.

Строим график.