Question

Проверить совместность системы и в случае совместности решить ее: методом Крамера, матричным методом, методом Гаусса.​

Answer 1

Ответ:

Давайте решим данную систему линейных уравнений сначала методом Крамера, затем матричным методом и методом Гаусса.

Система уравнений:

1. X¹ + X² + X³ = 1

2. X¹ - X² + 2X³ = -5

3. 2X¹ + 3X³ = -2

Метод Крамера:

Для метода Крамера вычислим определитель основной матрицы системы (D) и определители матриц для каждой переменной (D₁, D₂, D₃).

Определитель основной матрицы:

D = | 1 1 1 |

| 1 -1 2 |

| 2 0 3 |

D = 1*(-1*3 - 2*0) - 1*(1*3 - 2*2) + 1*(1*0 - (-1*2))

D = -3 - (-1) + 2 = -4

Теперь вычислим определители для каждой переменной:

D₁ - заменяем первый столбец на правую часть:

D₁ = | 1 1 1 |

| -5 -1 2 |

| -2 0 3 |

D₁ = 1*(-1*3 - 2*0) - 1*(-5*3 - 2*2) + 1*(-5*0 - (-1*2))

D₁ = -3 - (-17) + 2 = 16

D₂ - заменяем второй столбец на правую часть:

D₂ = | 1 1 1 |

| 1 -5 2 |

| 2 -2 3 |

D₂ = 1*(-5*3 - 2*(-2)) - 1*(1*3 - 2*2) + 1*(1*(-2) - (-5*2))

D₂ = (-15 + 4) - (3 - 4) + (-2 + 10) = -11

D₃ - заменяем третий столбец на правую часть:

D₃ = | 1 1 1 |

| 1 -1 -5 |

| 2 0 -2 |

D₃ = 1*(-1*(-2) - (-5)*0) - 1*(1*(-2) - (-5)*2) + 1*(1*0 - (-1)*2)

D₃ = (2 - 0) - ((-2 + 10) - (-10)) + (0 - (-2)) = 10

Теперь найдем решения:

X¹ = D₁ / D = 16 / -4 = -4

X² = D₂ / D = -11 / -4 = 11/4

X³ = D₃ / D = 10 / -4 = -5/2

Таким образом, решение методом Крамера:

X¹ = -4, X² = 11/4, X³ = -5/2

Матричный метод:

Мы уже вычислили определитель основной матрицы (D = -4). Теперь выразим вектор переменных:

X = [X¹, X², X³]^T (где ^T обозначает транспонирование).

Правая часть системы уравнений:

B = [1, -5, -2]^T

Теперь используем формулу для нахождения вектора переменных X:

X = D⁻¹ * B, где D⁻¹ - обратная матрица к D.

D⁻¹ = 1/D * adj(D), где adj(D) - матрица алгебраических дополнений.

adj(D) = | -7 5 1 |

| 7 1 -1 |

| -4 3 -1 |

D⁻¹ = (1/-4) * | -7 5 1 |

| 7 1 -1 |

| -4 3 -1 |

D⁻¹ = | 7/4 -5/4 -1/4 |

| -7/4 -1/4 1/4 |

| 1 -3/4 1/4 |

Теперь вычислим X:

X = D⁻¹ * B = | 7/4 -5/4 -1/4 | * | 1 |

| -7/4 -1/4 1/4 | | -5 |

| 1 -3/4 1/4 | | -2 |

X = | (7/4*1 + (-5/4)*(-5) + (-1/4)*(-2)) |

| ((-7/4)*1 + (-1/4)*(-5) + (1/4)*(-2)) |

| (1*1 + (-3/4)*(-5) + (1/4)*(-2)) |

X = | (7/4 + 25/4 - 1/2) |

| (-7/4 + 5/4 - 1/2) |

| (4 + 15/4 - 1/2) |

X = | (32/4) |

| (-3/4) |

| (29/4) |

X = | 8 |

| -3/4 |

| 29/4 |

Таким образом, решение матричным методом:

X¹ = 8, X² = -3/4, X³ = 29/4

Метод Гаусса:

Преобразуем систему уравнений в расширенную матрицу и применим метод Гаусса для решения системы:

| 1 1 1 | 1 |

| 1 -1 2 | -5 |

| 2 0 3 | -2 |

Шаг 1: Выразим X¹ в первом уравнении и вычитаем его из остальных уравнений:

- X¹ = X² + X³ - 1

- X¹ = -5 - X² - 2X³

| 1 1 1