Проверить совместность системы и в случае совместности решить ее: методом Крамера, матричным методом, методом Гаусса.
Ответы
Ответ:
Давайте решим данную систему линейных уравнений сначала методом Крамера, затем матричным методом и методом Гаусса.
Система уравнений:
1. X¹ + X² + X³ = 1
2. X¹ - X² + 2X³ = -5
3. 2X¹ + 3X³ = -2
Метод Крамера:
Для метода Крамера вычислим определитель основной матрицы системы (D) и определители матриц для каждой переменной (D₁, D₂, D₃).
Определитель основной матрицы:
D = | 1 1 1 |
| 1 -1 2 |
| 2 0 3 |
D = 1*(-1*3 - 2*0) - 1*(1*3 - 2*2) + 1*(1*0 - (-1*2))
D = -3 - (-1) + 2 = -4
Теперь вычислим определители для каждой переменной:
D₁ - заменяем первый столбец на правую часть:
D₁ = | 1 1 1 |
| -5 -1 2 |
| -2 0 3 |
D₁ = 1*(-1*3 - 2*0) - 1*(-5*3 - 2*2) + 1*(-5*0 - (-1*2))
D₁ = -3 - (-17) + 2 = 16
D₂ - заменяем второй столбец на правую часть:
D₂ = | 1 1 1 |
| 1 -5 2 |
| 2 -2 3 |
D₂ = 1*(-5*3 - 2*(-2)) - 1*(1*3 - 2*2) + 1*(1*(-2) - (-5*2))
D₂ = (-15 + 4) - (3 - 4) + (-2 + 10) = -11
D₃ - заменяем третий столбец на правую часть:
D₃ = | 1 1 1 |
| 1 -1 -5 |
| 2 0 -2 |
D₃ = 1*(-1*(-2) - (-5)*0) - 1*(1*(-2) - (-5)*2) + 1*(1*0 - (-1)*2)
D₃ = (2 - 0) - ((-2 + 10) - (-10)) + (0 - (-2)) = 10
Теперь найдем решения:
X¹ = D₁ / D = 16 / -4 = -4
X² = D₂ / D = -11 / -4 = 11/4
X³ = D₃ / D = 10 / -4 = -5/2
Таким образом, решение методом Крамера:
X¹ = -4, X² = 11/4, X³ = -5/2
Матричный метод:
Мы уже вычислили определитель основной матрицы (D = -4). Теперь выразим вектор переменных:
X = [X¹, X², X³]^T (где ^T обозначает транспонирование).
Правая часть системы уравнений:
B = [1, -5, -2]^T
Теперь используем формулу для нахождения вектора переменных X:
X = D⁻¹ * B, где D⁻¹ - обратная матрица к D.
D⁻¹ = 1/D * adj(D), где adj(D) - матрица алгебраических дополнений.
adj(D) = | -7 5 1 |
| 7 1 -1 |
| -4 3 -1 |
D⁻¹ = (1/-4) * | -7 5 1 |
| 7 1 -1 |
| -4 3 -1 |
D⁻¹ = | 7/4 -5/4 -1/4 |
| -7/4 -1/4 1/4 |
| 1 -3/4 1/4 |
Теперь вычислим X:
X = D⁻¹ * B = | 7/4 -5/4 -1/4 | * | 1 |
| -7/4 -1/4 1/4 | | -5 |
| 1 -3/4 1/4 | | -2 |
X = | (7/4*1 + (-5/4)*(-5) + (-1/4)*(-2)) |
| ((-7/4)*1 + (-1/4)*(-5) + (1/4)*(-2)) |
| (1*1 + (-3/4)*(-5) + (1/4)*(-2)) |
X = | (7/4 + 25/4 - 1/2) |
| (-7/4 + 5/4 - 1/2) |
| (4 + 15/4 - 1/2) |
X = | (32/4) |
| (-3/4) |
| (29/4) |
X = | 8 |
| -3/4 |
| 29/4 |
Таким образом, решение матричным методом:
X¹ = 8, X² = -3/4, X³ = 29/4
Метод Гаусса:
Преобразуем систему уравнений в расширенную матрицу и применим метод Гаусса для решения системы:
| 1 1 1 | 1 |
| 1 -1 2 | -5 |
| 2 0 3 | -2 |
Шаг 1: Выразим X¹ в первом уравнении и вычитаем его из остальных уравнений:
- X¹ = X² + X³ - 1
- X¹ = -5 - X² - 2X³
| 1 1 1