Найдите уравнение касательной и нормали к графику
функции: f(x) = 2x^2 + x + 1 так, чтобы касательная была перпендикулярна на прямую p : y = -x/9 + 2. С поясненням
Ответы
Ответ:
Для того чтобы найти уравнение касательной и нормали к графику функции \(f(x) = 2x^2 + x + 1\), которая перпендикулярна прямой \(p: y = -\frac{x}{9} + 2\), мы должны выполнить следующие шаги:
1. Найдем производную функции \(f(x)\). Производная будет представлять угловой коэффициент касательной к графику функции \(f(x)\).
\(f'(x) = 4x + 1\)
2. Прямая \(p\) имеет угловой коэффициент \(-\frac{1}{9}\). Чтобы касательная была перпендикулярна \(p\), её угловой коэффициент должен быть \(9\), обратной к обратному угловому коэффициенту \(p\).
3. Теперь нам нужно найти точку, в которой касательная касается графика функции \(f(x)\). Для этого мы можем использовать значение \(x\), в котором касательная и функция совпадают. Это можно найти, приравняв \(f'(x)\) к \(9\) и решив уравнение:
\(4x + 1 = 9\)
\(4x = 8\)
\(x = 2\)
4. Теперь у нас есть координата \(x\) точки касания касательной и графика функции \(f(x)\), которая равна \(2\). Мы можем найти соответствующее значение \(y\) путем подстановки \(x = 2\) в исходную функцию:
\(f(2) = 2 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 + 1 = 9\)
Таким образом, точка касания - это \((2, 9)\).
5. Теперь у нас есть точка и угловой коэффициент касательной. Мы можем использовать уравнение прямой в форме \(y = mx + b\), где \(m\) - угловой коэффициент, и подставить \(m = 9\) и точку \((2, 9)\) для нахождения коэффициента \(b\).
\(9 = 9 \cdot 2 + b\)
\(b = 9 - 18\)
\(b = -9\)
6. Теперь у нас есть уравнение касательной. Оно выглядит так:
\(y = 9x - 9\)
7. Чтобы найти уравнение нормали, мы можем использовать тот же угловой коэффициент \(-\frac{1}{9}\) и ту же точку \((2, 9)\). Уравнение нормали будет:
\(y = -\frac{1}{9}x + b\)
Подставим точку \((2, 9)\):
\(9 = -\frac{1}{9} \cdot 2 + b\)
\(9 = -\frac{2}{9} + b\)
\(b = 9 + \frac{2}{9} = \frac{83}{9}\)
Таким образом, уравнение нормали будет:
\(y = -\frac{1}{9}x + \frac{83}{9}\)
Теперь у нас есть уравнение касательной и нормали к графику функции \(f(x)\), так, чтобы касательная была перпендикулярна прямой \(p: y = -\frac{x}{9} + 2\).
Пошаговое объяснение: